微积分学示例

$y = \frac{5 - v^{2}}{5 + v^{2}}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d y'} y = \frac{d}{d y'} \cdot \frac{5 - {y'}^{2}}{5 + {y'}^{2}}$

解题步骤 2

$y$ 对 $y'$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [\frac{f (y')}{g (y')}]$ 等于 $\frac{g (y') \frac{d}{d v} [f (y')] - f (y') \frac{d}{d v} [g (y')]}{{g (y')}^{2}}$ ，其中 $f (y') = 5 - {y'}^{2}$ 且 $g (y') = 5 + {y'}^{2}$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 - {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $5 - {y'}^{2}$ 对 $y'$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为 $5$ 对于 $y'$ 是常数，所以 $5$ 对 $y'$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d v} [- {y'}^{2}]$ 相加。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [- {y'}^{2}] - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

因为 $- 1$ 对于 $y'$ 是常数，所以 $- {y'}^{2}$ 对 $y'$ 的导数是 $- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ 等于 $n {y'}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- (2 y')) - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [5 + {y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.7

根据加法法则， $5 + {y'}^{2}$ 对 $y'$ 的导数是 $\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (\frac{d}{d v} [5] + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

因为 $5$ 对于 $y'$ 是常数，所以 $5$ 对 $y'$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [{y'}^{2}])}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d v} [{y'}^{2}]$ 相加。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) \frac{d}{d v} [{y'}^{2}]}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d v} [{y'}^{n}]$ 等于 $n {y'}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - (5 - {y'}^{2}) (2 y')}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2.11

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(5 + {y'}^{2}) (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 (5 - {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') + (- 2 \cdot 5 - 2 (- {y'}^{2})) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

运用分配律。

$\frac{5 (- 2 y') + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 10 y' + {y'}^{2} (- 2 y') - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{2} y' - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3

通过指数相加将 ${y'}^{2}$ 乘以 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1.3.1

移动 $y'$ 。

$\frac{- 10 y' - 2 (y' {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3.2

将 $y'$ 乘以 ${y'}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1.3.2.1

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 10 y' - 2 ({y'}^{1} {y'}^{2}) - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{1 + 2} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 2 \cdot 5 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.4

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{2}) y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5

通过指数相加将 ${y'}^{2}$ 乘以 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1.5.1

移动 $y'$ 。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- (y' {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5.2

将 $y'$ 乘以 ${y'}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.1.5.2.1

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- ({y'}^{1} {y'}^{2}))}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{1 + 2})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' - 2 (- {y'}^{3})}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2

合并 $- 10 y' - 2 {y'}^{3} - 10 y' + 2 {y'}^{3}$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.4.2.1

将 $- 2 {y'}^{3}$ 和 $2 {y'}^{3}$ 相加。

$\frac{- 10 y' - 10 y' + 0}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.2.2

将 $- 10 y' - 10 y'$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 10 y' - 10 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.4.3

从 $- 10 y'$ 中减去 $10 y'$ 。

$\frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.3.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

解题步骤 5.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

${(5 + {y'}^{2})}^{2}$

解题步骤 5.2

将 $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ 中的每一项乘以 ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ 以消去分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

将 $y' = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ 中的每一项乘以 ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ 。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

约去 ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

将 $- \frac{20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去公因数。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = \frac{- 20 y'}{{(5 + {y'}^{2})}^{2}} {(5 + {y'}^{2})}^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.3

重写表达式。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} = - 20 y'$

解题步骤 5.3

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.1

在等式两边都加上 $20 y'$ 。

$y' {(5 + {y'}^{2})}^{2} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.1

将 ${(5 + {y'}^{2})}^{2}$ 重写为 $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ 。

$y' ((5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(5 + {y'}^{2}) (5 + {y'}^{2})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.2.1

运用分配律。

$y' (5 (5 + {y'}^{2}) + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.2.2

运用分配律。

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} (5 + {y'}^{2})) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.2.3

运用分配律。

$y' (5 \cdot 5 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.3.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2} \cdot 5 + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.2

将 $5$ 移到 ${y'}^{2}$ 的左侧。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 \cdot {y'}^{2} + {y'}^{2} {y'}^{2}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.3

通过指数相加将 ${y'}^{2}$ 乘以 ${y'}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.3.1.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{2 + 2}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.3.1.3.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y' (25 + 5 {y'}^{2} + 5 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.3.2

将 $5 {y'}^{2}$ 和 $5 {y'}^{2}$ 相加。

$y' (25 + 10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.4

运用分配律。

$y' \cdot 25 + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.5.1

将 $25$ 移到 $y'$ 的左侧。

$25 \cdot y' + y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + y' {y'}^{4} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.5.3

通过指数相加将 $y'$ 乘以 ${y'}^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.5.3.1

将 $y'$ 乘以 ${y'}^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.5.3.1.1

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1} {y'}^{4} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.5.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{1 + 4} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.5.3.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$25 \cdot y' + 10 y' {y'}^{2} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.6

通过指数相加将 $y'$ 乘以 ${y'}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.6.1

移动 ${y'}^{2}$ 。

$25 y' + 10 ({y'}^{2} y') + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.6.2

将 ${y'}^{2}$ 乘以 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1.2.6.2.1

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$25 y' + 10 ({y'}^{2} {y'}^{1}) + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$25 y' + 10 {y'}^{2 + 1} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.2.6.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$25 y' + 10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 20 y' = 0$

解题步骤 5.3.1.3

将 $25 y'$ 和 $20 y'$ 相加。

$10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

解题步骤 5.3.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1

从 $10 {y'}^{3} + {y'}^{5} + 45 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.2.1.1

从 $10 {y'}^{3}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (10 {y'}^{2}) + {y'}^{5} + 45 y' = 0$

解题步骤 5.3.2.1.2

从 ${y'}^{5}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + 45 y' = 0$

解题步骤 5.3.2.1.3

从 $45 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

解题步骤 5.3.2.1.4

从 $y' (10 {y'}^{2}) + y' ({y'}^{4})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45 = 0$

解题步骤 5.3.2.1.5

从 $y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4}) + y' \cdot 45$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (10 {y'}^{2} + {y'}^{4} + 45) = 0$

解题步骤 5.3.2.2

重新排序项。

$y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$

解题步骤 5.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y' = 0$

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

解题步骤 5.3.4

将 $y'$ 设为等于 $0$ 。

$y' = 0$

解题步骤 5.3.5

将 ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ 设为等于 $0$ 并求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.1

将 ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45$ 设为等于 $0$ 。

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$

解题步骤 5.3.5.2

求解 $y'$ 的 ${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.1

将 $u = {y'}^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 10 u + 45 = 0$

$u = {y'}^{2}$

解题步骤 5.3.5.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3.5.2.3

将 $a = 1$ 、 $b = 10$ 和 $c = 45$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 45)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.4.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $45$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.3

从 $100$ 中减去 $180$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.4

将 $- 80$ 重写为 $- 1 (80)$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (80)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.7

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.4.1.7.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5.3.5.2.4.3

化简 $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ 。

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.5.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $45$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.3

从 $100$ 中减去 $180$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.4

将 $- 80$ 重写为 $- 1 (80)$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (80)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.7

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.5.1.7.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5.3.5.2.5.3

化简 $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ 。

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.6.1.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 45$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 45}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $45$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{100 - 180}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.3

从 $100$ 中减去 $180$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.4

将 $- 80$ 重写为 $- 1 (80)$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (80)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}$ 。

$u = \frac{- 10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.7

将 $80$ 重写为 $4^{2} \cdot 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.6.1.7.1

从 $80$ 中分解出因数 $16$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.7.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.8

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 10 \pm i \cdot (4 \sqrt{5})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.5.2.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5.3.5.2.6.3

化简 $\frac{- 10 \pm 4 i \sqrt{5}}{2}$ 。

$u = - 5 \pm 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.7

最终答案为两个解的组合。

$u = - 5 + 2 i \sqrt{5}, - 5 - 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.8

将 $u = {y'}^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.9

求解 $y'$ 的第一个方程。

${y'}^{2} = - 5 + 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.10

求解 $y'$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y' = \pm \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.10.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.10.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.10.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y' = - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.10.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.11

求解 $y'$ 的第二个方程。

${({y'}^{2})}^{1} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.12

求解 $y'$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.12.1

去掉圆括号。

${y'}^{2} = - 5 - 2 i \sqrt{5}$

解题步骤 5.3.5.2.12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y' = \pm \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.12.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.5.2.12.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.12.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y' = - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.12.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y' = \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.5.2.13

${y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45 = 0$ 的解是 $y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$ 。

$y' = \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 5.3.6

最终解为使 $y' ({y'}^{4} + 10 {y'}^{2} + 45) = 0$ 成立的所有值。

$y' = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d v}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d v} = 0, \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 + 2 i \sqrt{5}}, \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}, - \sqrt{- 5 - 2 i \sqrt{5}}$

微积分学 示例

微积分学示例