微积分学示例

$y = \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}})$

解题步骤 2

展开右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$ 重写成 ${(\frac{x - 1}{x^{4} + 1})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (y) = \ln ({(\frac{x - 1}{x^{4} + 1})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.2

通过将 $\frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{x - 1}{x^{4} + 1})}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\ln (y) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})$

解题步骤 2.3

将 $\ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})$ 重写为 $\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1)$ 。

$\ln (y) = \frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $\frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} (\ln (x - 1) - \ln (x^{4} + 1))]$

解题步骤 3.2.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})]$

解题步骤 3.2.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2} \ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\ln (\frac{x - 1}{x^{4} + 1})]$

解题步骤 3.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

解题步骤 3.2.4.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

解题步骤 3.2.4.3

使用 $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{1}{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

解题步骤 3.2.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x - 1}{x^{4} + 1}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 \frac{x^{4} + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

解题步骤 3.2.6

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.6.1

将 $\frac{x^{4} + 1}{x - 1}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x^{4} + 1}{x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}])$

解题步骤 3.2.6.2

将 $\frac{x^{4} + 1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{(x - 1) \cdot 2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}]$

解题步骤 3.2.6.3

将 $2$ 移到 $x - 1$ 的左侧。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 \cdot (x - 1)} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{x^{4} + 1}]$

解题步骤 3.2.7

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 1$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.8.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.4

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.8.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.4.2

将 $x^{4} + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.5

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.8.8.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - (x - 1) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.8.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)} \cdot \frac{x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.8.8.3

将 $\frac{x^{4} + 1}{2 (x - 1)}$ 乘以 $\frac{x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3})}{2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.9

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.9.1

从 $2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{4} + 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3})}{(x^{4} + 1) (2 (x - 1) (x^{4} + 1))}$

解题步骤 3.2.9.2

约去公因数。

$\frac{y'}{y} = \frac{(x^{4} + 1) (x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3})}{(x^{4} + 1) (2 (x - 1) (x^{4} + 1))}$

解题步骤 3.2.9.3

重写表达式。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 (x - 1) x^{3}}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.1

运用分配律。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) x^{3}}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.2

运用分配律。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.3

运用分配律。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.4.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x) - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.4.1.1.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1}) - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.4.1.1.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4} - 4 \cdot - 1 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.4.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4} + 4 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.4.2

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 1 + 4 x^{3}}{(2 x + 2 \cdot - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 1 + 4 x^{3}}{(2 x - 2) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.6

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{(2 x - 2) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.7

从 $2 x - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.10.7.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{(2 (x) - 2) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.7.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{(2 (x) + 2 (- 1)) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.7.3

从 $2 (x) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 3 x^{4} + 4 x^{3} + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.8

从 $- 3 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4}) + 4 x^{3} + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.9

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4}) - (- 4 x^{3}) + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.10

从 $- (3 x^{4}) - (- 4 x^{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4} - 4 x^{3}) + 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.11

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4} - 4 x^{3}) - 1 (- 1)}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.12

从 $- (3 x^{4} - 4 x^{3}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.13

将 $- (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{- 1 (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 3.2.10.14

将负号移到分数的前面。

$\frac{y'}{y} = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$

解题步骤 5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $\sqrt{\frac{x - 1}{x^{4} + 1}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}})$

解题步骤 5.3

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

将 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1}}$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{\sqrt{x^{4} + 1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 5.3.2

对 $\sqrt{x^{4} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} \sqrt{x^{4} + 1}}$

解题步骤 5.3.3

对 $\sqrt{x^{4} + 1}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{4} + 1}}^{1}}$

解题步骤 5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}}$

解题步骤 5.3.6

将 ${\sqrt{x^{4} + 1}}^{2}$ 重写为 $x^{4} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{4} + 1}$ 重写成 ${(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{({(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.6.4.1

约去公因数。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 5.3.6.4.2

重写表达式。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{1}}$

解题步骤 5.3.6.5

化简。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x^{4} + 1}}{x^{4} + 1}$

解题步骤 5.4

使用根数乘积法则进行合并。

$y' = - \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)}}{x^{4} + 1}$

解题步骤 5.5

乘以 $- \frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)}}{x^{4} + 1}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $\frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)}}{x^{4} + 1}$ 乘以 $\frac{3 x^{4} - 4 x^{3} - 1}{2 (x - 1) (x^{4} + 1)}$ 。

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{(x^{4} + 1) (2 (x - 1) (x^{4} + 1))}$

解题步骤 5.5.2

对 $x^{4} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) ({(x^{4} + 1)}^{1} (x^{4} + 1))}$

解题步骤 5.5.3

对 $x^{4} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) ({(x^{4} + 1)}^{1} {(x^{4} + 1)}^{1})}$

解题步骤 5.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{1 + 1}}$

解题步骤 5.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x^{4} + 1)} (3 x^{4} - 4 x^{3} - 1)}{2 (x - 1) {(x^{4} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

微积分学示例