微积分学示例

$\int 4 \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \tan^{3} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \int \tan^{3} (x) \sec^{1} (x) d x$

解题步骤 3

因式分解出 $\tan^{2} (x)$ 。

$4 \int \tan^{2} (x) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

解题步骤 4

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec^{1} (x) d x$

解题步骤 5

化简。

$4 \int (- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 6

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 6.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$4 \int - 1 + u^{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$4 (- u + C + \int u^{2} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$4 (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$4 (- u + C + \frac{u^{3}}{3} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$4 (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

解题步骤 11

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \sec (x) + \frac{1}{3} \sec^{3} (x)) + C$

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