微积分学示例

$\int_{0}^{a} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x = \frac{1}{5}$

解题步骤 1

使 $u = 1 + x$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 + x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 + x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $1 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 1$

解题步骤 1.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 1 + 0$

解题步骤 1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 1 + x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + a$

解题步骤 1.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + a$

解题步骤 1.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{1 + a} \frac{1}{u^{2}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $u^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{1 + a} {(u^{2})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.2

将 ${(u^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{1 + a} u^{2 \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{1 + a} u^{- 2} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- 2}$ 对 $u$ 的积分是 $- u^{- 1}$ 。

$- u^{- 1}]_{1}^{1 + a}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- u^{- 1}$ 在 $1 + a$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- {(1 + a)}^{- 1}) + 1^{- 1}$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

$- {(1 + a)}^{- 1} + 1$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{1 + a} + 1$

解题步骤 5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{1 + a} + \frac{1 + a}{1 + a}$

解题步骤 5.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 1 + a}{1 + a}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0 + a}{1 + a}$

解题步骤 5.4.2

将 $0$ 和 $a$ 相加。

$\frac{a}{1 + a}$

微积分学 示例

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