微积分学示例

$\int_{- \infty}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $- \infty$ 时的极限。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} \frac{1}{3 - 4 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 - 4 x$ 。然后使 $d u = - 4 d x$ ，以便 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 - 4 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 - 4 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 - 4 x]$

解题步骤 2.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.2.1

根据加法法则， $3 - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.1.2.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$0 - 4$

解题步骤 2.1.4

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 3 - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 3 - 4 t$

解题步骤 2.3

将上限代入替换 $u = 3 - 4 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 3 - 4 \cdot 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$u_{upper} = 3 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$u_{upper} = 3$

解题步骤 2.5

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 3 - 4 t$

$u_{upper} = 3$

解题步骤 2.6

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} (- \frac{1}{4}) d u$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{u \cdot 4} d u$

解题步骤 3.3

将 $4$ 移到 $u$ 的左侧。

$lim_{t \to - \infty} \int_{3 - 4 t}^{3} - \frac{1}{4 u} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} - \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{4 u} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{4} \int_{3 - 4 t}^{3} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$

解题步骤 7

组合 $\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| u |)]_{3 - 4 t}^{3}}{4}$

解题步骤 8

计算 $\ln (| u |)$ 在 $3$ 处和在 $3 - 4 t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (| 3 |) - \ln (| 3 - 4 t |)}{4}$

解题步骤 9

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$lim_{t \to - \infty} - \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

解题步骤 10

因为函数 $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ 趋于 $- \infty$ ，所以负常数 $- 1$ 乘以函数趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 10.1

思考去掉常数倍数 $- 1$ 后的极限。

$lim_{t \to - \infty} \frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$

解题步骤 10.2

当 $t$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to - \infty} \ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{lim_{t \to - \infty} 4}$

解题步骤 10.3

当 $t$ 从任何一边趋于 $- \infty$ 时， $\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})$ 无限递减。

$\frac{- \infty}{lim_{t \to - \infty} 4}$

解题步骤 10.4

计算 $4$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{- \infty}{4}$

解题步骤 10.5

无穷大除以任何有穷数和非零数，其结果为无穷大。

$- \infty$

解题步骤 10.6

因为函数 $\frac{\ln (\frac{| 3 |}{| 3 - 4 t |})}{4}$ 趋于 $- \infty$ ，所以负常数 $- 1$ 乘以函数趋于 $\infty$ 。

$\infty$

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