微积分学示例

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} (x^{2} + \frac{1}{9}) (x - \frac{1}{3})$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{3}$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + \frac{1}{9} \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

解题步骤 4

计算 $\frac{1}{9}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $- \frac{1}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - lim_{x \to - \frac{1}{3}} \frac{1}{3})$

解题步骤 6

计算 $\frac{1}{3}$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \frac{1}{3}$ 时此极限值为常数。

$({(lim_{x \to - \frac{1}{3}} x)}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

解题步骤 7

将 $- \frac{1}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (lim_{x \to - \frac{1}{3}} x - \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{1}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$({(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8

化简答案。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 8.1.1.1

对 $- \frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.1.1.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$(1 \frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.1.3

将 $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$(\frac{1^{2}}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.1.4

一的任意次幂都为一。

$(\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(\frac{1}{9} + \frac{1}{9}) \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + 1}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3})$

解题步骤 8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 1 - 1}{3}$

解题步骤 8.5

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{2}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

解题步骤 8.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{9} \cdot (- \frac{2}{3})$

解题步骤 8.7

乘以 $\frac{2}{9} (- \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 8.7.1

将 $\frac{2}{9}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$- \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

解题步骤 8.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4}{9 \cdot 3}$

解题步骤 8.7.3

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{4}{27}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{4}{27}$

小数形式：

$- 0.\overline{148}$

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