微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{- 4 \cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 1

因为项 $- 4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 lim_{x \to \frac{π}{3}} \frac{\cos (- x)}{3 - 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (- x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$- 4 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} - x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{3}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{3}$ 时此极限值为常数。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \sin (- 2 x)}$

解题步骤 7

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \sin (- 2 x)}$

解题步骤 8

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (lim_{x \to \frac{π}{3}} - 2 x)}$

解题步骤 9

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 4 \frac{\cos (- lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 10

将 $\frac{π}{3}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{3}} x)}$

解题步骤 10.2

将 $\frac{π}{3}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 4 \frac{\cos (- \frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

解题步骤 11

化简答案。

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解题步骤 11.1

化简分子。

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解题步骤 11.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 4 \frac{\cos (\frac{5 π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

解题步骤 11.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$- 4 \frac{\cos (\frac{π}{3})}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

解题步骤 11.1.3

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- 2 \frac{π}{3})}$

解题步骤 11.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{- 2 π}{3})}$

解题步骤 11.2.2

将负号移到分数的前面。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (- \frac{2 π}{3})}$

解题步骤 11.2.3

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \sin (\frac{4 π}{3})}$

解题步骤 11.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \sin (\frac{π}{3}))}$

解题步骤 11.2.5

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 11.2.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.6.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 11.2.6.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 11.2.6.3

约去公因数。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 11.2.6.4

重写表达式。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 - - \sqrt{3}}$

解题步骤 11.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + 1 \sqrt{3}}$

解题步骤 11.2.8

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 4 \frac{\frac{1}{2}}{3 + \sqrt{3}}$

解题步骤 11.3

将分子乘以分母的倒数。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3 + \sqrt{3}})$

解题步骤 11.4

将 $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} (\frac{1}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}))$

解题步骤 11.5

将 $\frac{1}{3 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ 。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})})$

解题步骤 11.6

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}})$

解题步骤 11.7

化简。

$- 4 (\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6})$

解题步骤 11.8

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ 。

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解题步骤 11.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{3}}{6}$ 。

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{2 \cdot 6}$

解题步骤 11.8.2

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- 4 \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

解题步骤 11.9

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.9.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (- 1) \frac{3 - \sqrt{3}}{12}$

解题步骤 11.9.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 11.9.3

约去公因数。

$4 \cdot - 1 \frac{3 - \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

解题步骤 11.9.4

重写表达式。

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$- 0.42264973 \dots$

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