微积分学示例

$\int \frac{w^{3} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $w^{3} + w^{2} + w$ 中分解出因数 $w$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $w^{3}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w^{2} + w}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.2

从 $w^{2}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.3

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w^{1}}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.4

从 $w^{1}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int \frac{w \cdot w^{2} + w \cdot w + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.5

从 $w \cdot w^{2} + w \cdot w$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int \frac{w (w^{2} + w) + w \cdot 1}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.1.6

从 $w (w^{2} + w) + w \cdot 1$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w^{3}} d w$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $w^{3}$ 中分解出因数 $w$ 。

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int \frac{w (w^{2} + w + 1)}{w \cdot w^{2}} d w$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int \frac{w^{2} + w + 1}{w^{2}} d w$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $w^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (w^{2} + w + 1) {(w^{2})}^{- 1} d w$

解题步骤 2.2

将 ${(w^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (w^{2} + w + 1) w^{2 \cdot - 1} d w$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (w^{2} + w + 1) w^{- 2} d w$

解题步骤 3

展开 $(w^{2} + w + 1) w^{- 2}$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\int (w^{2} + w) w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\int w^{2} w^{- 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int w^{2 - 2} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int w^{0} + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.5

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int 1 + w \cdot w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.6

对 $w$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 1 + w^{1} w^{- 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 1 + w^{1 - 2} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.8

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\int 1 + w^{- 1} + 1 w^{- 2} d w$

解题步骤 3.9

将 $w^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int 1 + w^{- 1} + w^{- 2} d w$

解题步骤 3.10

将 $1$ 和 $w^{- 1}$ 重新排序。

$\int w^{- 1} + 1 + w^{- 2} d w$

解题步骤 3.11

移动 $1$ 。

$\int w^{- 1} + w^{- 2} + 1 d w$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int w^{- 1} d w + \int w^{- 2} d w + \int d w$

解题步骤 5

$w^{- 1}$ 对 $w$ 的积分为 $\ln (| w |)$ 。

$\ln (| w |) + C + \int w^{- 2} d w + \int d w$

解题步骤 6

根据幂法则， $w^{- 2}$ 对 $w$ 的积分是 $- w^{- 1}$ 。

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + \int d w$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (| w |) + C - w^{- 1} + C + w + C$

解题步骤 8

化简。

$\ln (| w |) - \frac{1}{w} + w + C$

微积分学 示例

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