微积分学示例

$y = (4 x^{2} - \frac{1}{2} x) (9 x + 8)$

解题步骤 1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 x + 8)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 4 x^{2} - \frac{x}{2}$ 且 $g (x) = 9 x + 8$ 。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [9 x + 8] + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $9 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.2

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.4

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + \frac{d}{d x} [8]) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.5

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) (9 + 0) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.6

化简表达式。

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解题步骤 3.6.1

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$(4 x^{2} - \frac{x}{2}) \cdot 9 + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.6.2

将 $9$ 移到 $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ 的左侧。

$9 \cdot (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x^{2} - \frac{x}{2}]$

解题步骤 3.7

根据加法法则， $4 x^{2} - \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 3.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}])$

解题步骤 3.11

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 3.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$9 (4 x^{2} - \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x - \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + (9 x + 8) (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + (9 x + 8) (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$9 (4 x^{2}) + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{2} + 9 (- \frac{x}{2}) + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{2} - 9 \frac{x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.3

组合 $- 9$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$36 x^{2} + \frac{- 9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.4

将负号移到分数的前面。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 9 x (8 x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.5

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x \cdot x + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 (x^{1} x^{1}) + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{1 + 1} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 8 (8 x) + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.10

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + 9 x (- \frac{1}{2}) + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.11

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - 9 x \frac{1}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.12

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + x \frac{- 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.13

组合 $x$ 和 $\frac{- 9}{2}$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{x \cdot - 9}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.14

将 $- 9$ 移到 $x$ 的左侧。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x + \frac{- 9 \cdot x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.15

将负号移到分数的前面。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + 8 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.16

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 8 (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.5.17

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 8}{2}$

解题步骤 4.5.18

约去 $- 8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.18.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2}$

解题步骤 4.5.18.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)}$

解题步骤 4.5.18.2.2

约去公因数。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.5.18.2.3

重写表达式。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} + \frac{- 4}{1}$

解题步骤 4.5.18.2.4

用 $- 4$ 除以 $1$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x - \frac{9 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.19

要将 $64 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + 64 x \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.20

组合 $64 x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2}{2} - \frac{9 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.21

在公分母上合并分子。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{64 x \cdot 2 - 9 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.22

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{128 x - 9 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.23

从 $128 x$ 中减去 $9 x$ 。

$36 x^{2} - \frac{9 x}{2} + 72 x^{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.24

将 $36 x^{2}$ 和 $72 x^{2}$ 相加。

$108 x^{2} - \frac{9 x}{2} + \frac{119 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.25

在公分母上合并分子。

$108 x^{2} + \frac{- 9 x + 119 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.26

将 $- 9 x$ 和 $119 x$ 相加。

$108 x^{2} + \frac{110 x}{2} - 4$

解题步骤 4.5.27

约去 $110$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.27.1

从 $110 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2} - 4$

解题步骤 4.5.27.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.27.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 (1)} - 4$

解题步骤 4.5.27.2.2

约去公因数。

$108 x^{2} + \frac{2 (55 x)}{2 \cdot 1} - 4$

解题步骤 4.5.27.2.3

重写表达式。

$108 x^{2} + \frac{55 x}{1} - 4$

解题步骤 4.5.27.2.4

用 $55 x$ 除以 $1$ 。

$108 x^{2} + 55 x - 4$

微积分学 示例

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