微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + 4 \sin (- 2 x)$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{6}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

解题步骤 2

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

解题步骤 3

因为正切是连续的，应将极限移动至三角函数内。

$4 \tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

解题步骤 4

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + lim_{x \to \frac{π}{6}} 4 \sin (- 2 x)$

解题步骤 5

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (- 2 x)$

解题步骤 6

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x)$

解题步骤 7

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$4 \tan (- lim_{x \to \frac{π}{6}} x) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

解题步骤 8

将 $\frac{π}{6}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

解题步骤 8.2

将 $\frac{π}{6}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$4 \tan (- \frac{π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$4 \tan (\frac{11 π}{6}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，求得参考角。令表达式取负值，因为正切在第四象限为负。

$4 (- \tan (\frac{π}{6})) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.3

$\tan (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$4 (- \frac{\sqrt{3}}{3}) + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.4

乘以 $4 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \frac{\sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.4.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- 2 \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.6

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.6.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 (- 1) \frac{π}{6})$

解题步骤 9.1.6.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 9.1.6.3

约去公因数。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3})$

解题步骤 9.1.6.4

重写表达式。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (- \frac{π}{3})$

解题步骤 9.1.7

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

解题步骤 9.1.8

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 9.1.9

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 9.1.10

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.10.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.1.10.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.1.10.3

约去公因数。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 9.1.10.4

重写表达式。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + 2 (- \sqrt{3})$

解题步骤 9.1.11

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3}$

解题步骤 9.2

要将 $- 2 \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} - 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 9.3

组合 $- 2 \sqrt{3}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{4 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

解题步骤 9.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.5.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.5.2

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$\frac{- 10 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$- 5.77350269 \dots$

微积分学 示例

微积分学示例