微积分学示例

$y = (5 x - 3) (4 x - \frac{3}{x})$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 5 x - 3$ 且 $g (x) = 4 x - \frac{3}{x}$ 。

$(5 x - 3) \frac{d}{d x} [4 x - \frac{3}{x}] + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x - \frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ 。

$(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x - 3) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x - 3) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(5 x - 3) (4 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.6

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$(5 x - 3) (4 - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$(5 x - 3) (4 - 3 (- x^{- 2})) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.8

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \frac{d}{d x} [5 x - 3]$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $5 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.10

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.12

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])$

解题步骤 2.13

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) (5 + 0)$

解题步骤 2.14

化简表达式。

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解题步骤 2.14.1

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + (4 x - \frac{3}{x}) \cdot 5$

解题步骤 2.14.2

将 $5$ 移到 $4 x - \frac{3}{x}$ 的左侧。

$(5 x - 3) (4 + 3 x^{- 2}) + 5 \cdot (4 x - \frac{3}{x})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x - \frac{3}{x})$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(5 x - 3) (4 + 3 \frac{1}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

解题步骤 3.3

合并项。

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解题步骤 3.3.1

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 5 (4 x) + 5 (- \frac{3}{x})$

解题步骤 3.3.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + 5 (- \frac{3}{x})$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - 5 \frac{3}{x}$

解题步骤 3.3.4

组合 $- 5$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 5 \cdot 3}{x}$

解题步骤 3.3.5

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x + \frac{- 15}{x}$

解题步骤 3.3.6

将负号移到分数的前面。

$(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) + 20 x - \frac{15}{x}$

解题步骤 3.3.7

要将 $(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x}{x} - \frac{15}{x}$

解题步骤 3.3.8

在公分母上合并分子。

$20 x + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.3.9

要将 $20 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{20 x \cdot x}{x} + \frac{(5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.3.10

在公分母上合并分子。

$\frac{20 x \cdot x + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.3.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{20 (x^{1} x) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.3.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{20 (x^{1} x^{1}) + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{20 x^{1 + 1} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.3.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{20 x^{2} + (5 x - 3) (4 + \frac{3}{x^{2}}) x - 15}{x}$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$\frac{20 x^{2} + x (4 + \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5

化简分子。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$\frac{20 x^{2} + (x \cdot 4 + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.2

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x^{2}}) (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.3.2

约去公因数。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + x \frac{3}{x \cdot x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.3.3

重写表达式。

$\frac{20 x^{2} + (4 \cdot x + \frac{3}{x}) (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.4

使用 FOIL 方法展开 $(4 x + \frac{3}{x}) (5 x - 3)$ 。

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解题步骤 3.5.4.1

运用分配律。

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x - 3) + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.4.2

运用分配律。

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x - 3) - 15}{x}$

解题步骤 3.5.4.3

运用分配律。

$\frac{20 x^{2} + 4 x (5 x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5

化简每一项。

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解题步骤 3.5.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.5.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{20 x^{2} + 4 \cdot 5 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} + 4 x \cdot - 3 + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.4

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{3}{x} (5 x) + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 5 \frac{3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.6

乘以 $5 \frac{3}{x}$ 。

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解题步骤 3.5.5.6.1

组合 $5$ 和 $\frac{3}{x}$ 。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{5 \cdot 3}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.6.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.7

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.5.7.1

约去公因数。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + \frac{15}{x} x + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.7.2

重写表达式。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3}{x} \cdot - 3 - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.8

乘以 $\frac{3}{x} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 3.5.5.8.1

组合 $\frac{3}{x}$ 和 $- 3$ 。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{3 \cdot - 3}{x} - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.8.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 + \frac{- 9}{x} - 15}{x}$

解题步骤 3.5.5.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{20 x^{2} + 20 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

解题步骤 3.5.6

将 $20 x^{2}$ 和 $20 x^{2}$ 相加。

$\frac{40 x^{2} - 12 x + 15 - \frac{9}{x} - 15}{x}$

解题步骤 3.5.7

从 $15$ 中减去 $15$ 。

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x} + 0}{x}$

解题步骤 3.5.8

将 $40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{40 x^{2} - 12 x - \frac{9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.9

要将 $40 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x}{x} - \frac{9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.10

在公分母上合并分子。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{2} x - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.11

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.11.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x \cdot x^{2}) - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.11.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.5.11.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 12 x + \frac{40 (x^{1} x^{2}) - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{1 + 2} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.11.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{- 12 x + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.12

要将 $- 12 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{- 12 x \cdot \frac{x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.13

组合 $- 12 x$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x}{x} + \frac{40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.14

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{- 12 x \cdot x + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.15

化简分子。

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解题步骤 3.5.15.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.15.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{- 12 (x \cdot x) + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.15.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{- 12 x^{2} + 40 x^{3} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.5.15.2

重新排序项。

$\frac{\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}}{x}$

解题步骤 3.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 3.7

乘以 $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x \cdot x}$

解题步骤 3.7.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x}$

解题步骤 3.7.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1} x^{1}}$

解题步骤 3.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{1 + 1}}$

解题步骤 3.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{40 x^{3} - 12 x^{2} - 9}{x^{2}}$

微积分学 示例

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