微积分学示例

$y = x \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

解题步骤 1.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.9

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.10

乘。

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解题步骤 2.10.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

解题步骤 2.10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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