微积分学示例

$\log_{a} (2 x^{3} + 7)$

解题步骤 1

使用基数公式的变化式重写 $\log_{a} (2 x^{3} + 7)$ 。

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解题步骤 1.1

如果 $a$ 和 $b$ 都大于 0 且不等于 1，并且 $x$ 大于 0，则可使用换底公式。

$\frac{d}{d x} [\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}]$

解题步骤 1.2

使用 $b = e$ 将变量的值代入基本公式变换中。

$\frac{d}{d x} [\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}]$

解题步骤 2

因为 $\frac{1}{\ln (a)}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{\ln (2 x^{3} + 7)}{\ln (a)}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$ 。

$\frac{1}{\ln (a)} \frac{d}{d x} [\ln (2 x^{3} + 7)]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{3} + 7$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{3} + 7$ 。

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

解题步骤 3.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

解题步骤 3.3

使用 $2 x^{3} + 7$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\ln (a)} (\frac{1}{2 x^{3} + 7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{2 x^{3} + 7}$ 乘以 $\frac{1}{\ln (a)}$ 。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 7]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $2 x^{3} + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

解题步骤 4.6

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2} + 0)$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将 $6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} (6 x^{2})$

解题步骤 4.7.2

组合 $6$ 和 $\frac{1}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ 。

$\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)} x^{2}$

解题步骤 4.7.3

组合 $\frac{6}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{6 x^{2}}{(2 x^{3} + 7) \ln (a)}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{6 x^{2}}{2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)}$

解题步骤 5.2

从 $2 x^{3} \ln (a) + 7 \ln (a)$ 中分解出因数 $\ln (a)$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 x^{3} \ln (a)$ 中分解出因数 $\ln (a)$ 。

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + 7 \ln (a)}$

解题步骤 5.2.2

从 $7 \ln (a)$ 中分解出因数 $\ln (a)$ 。

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7}$

解题步骤 5.2.3

从 $\ln (a) (2 x^{3}) + \ln (a) \cdot 7$ 中分解出因数 $\ln (a)$ 。

$\frac{6 x^{2}}{\ln (a) (2 x^{3} + 7)}$

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