微积分学示例

$x + 3 y^{\frac{1}{3}} = y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x + 3 y^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x + 3 y^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 y^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 y^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$ 。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$1 + 3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1} y')$

解题步骤 2.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y')$

解题步骤 2.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y')$

解题步骤 2.2.6

在公分母上合并分子。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} y')$

解题步骤 2.2.7

化简分子。

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解题步骤 2.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{1 - 3}{3}} y')$

解题步骤 2.2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{\frac{- 2}{3}} y')$

解题步骤 2.2.8

将负号移到分数的前面。

$1 + 3 (\frac{1}{3} y^{- \frac{2}{3}} y')$

解题步骤 2.2.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $y^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 + 3 (\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3} y')$

解题步骤 2.2.10

组合 $\frac{y^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $y'$ 。

$1 + 3 \frac{y^{- \frac{2}{3}} y'}{3}$

解题步骤 2.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $y^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$1 + 3 \frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.12

组合 $3$ 和 $\frac{y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$ 。

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.13

约去公因数。

$1 + \frac{3 y'}{3 y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.14

重写表达式。

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$1 + \frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} = y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y' = - 1$

解题步骤 5.2

从 $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}} - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $\frac{y'}{y^{\frac{2}{3}}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) - y' = - 1$

解题步骤 5.2.2

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}}) + y' \cdot - 1 = - 1$

解题步骤 5.2.3

从 $y' \frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

解题步骤 5.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y' (\frac{1^{2}}{y^{\frac{2}{3}}} - 1) = - 1$

解题步骤 5.4

将 $y^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(y^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$y' (\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 1) = - 1$

解题步骤 5.5

将 $\frac{1^{2}}{{(y^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ 。

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1) = - 1$

解题步骤 5.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y' ({(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 1^{2}) = - 1$

解题步骤 5.7

因数。

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解题步骤 5.7.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ 和 $b = 1$ 。

$y' ((\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)) = - 1$

解题步骤 5.7.2

去掉多余的括号。

$y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$

解题步骤 5.8

将 $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ 中的每一项除以 $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.8.1

将 $y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1) = - 1$ 中的每一项都除以 $(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)$ 。

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

解题步骤 5.8.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.8.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

解题步骤 5.8.2.3

约去公因数。

$\frac{y' (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}{\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1} = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

解题步骤 5.8.2.4

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + 1) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

解题步骤 5.8.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.3.1

化简分母。

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解题步骤 5.8.3.1.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y' = \frac{- 1}{(\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

解题步骤 5.8.3.1.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1)}$

解题步骤 5.8.3.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot \frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

解题步骤 5.8.3.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}} + \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}})}$

解题步骤 5.8.3.1.5

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 1}{\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}}$

解题步骤 5.8.3.2

将 $\frac{1 + y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 乘以 $\frac{1 - y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}}$ 。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{3}}}}$

解题步骤 5.8.3.3

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $y^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.8.3.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}}}}$

解题步骤 5.8.3.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{1 + 1}{3}}}}$

解题步骤 5.8.3.3.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \frac{- 1}{\frac{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}{y^{\frac{2}{3}}}}$

解题步骤 5.8.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$y' = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{2}{3}}}{(1 + y^{\frac{1}{3}}) (1 - y^{\frac{1}{3}})}$

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