微积分学示例

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{1}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $x + \frac{1}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x + \frac{1}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 (x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$(2 x + 2 \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 3.4

重新排序 $(2 x + \frac{2}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$ 的因式。

$(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$

解题步骤 3.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (2 x + \frac{2}{x})$ 。

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解题步骤 3.5.1

运用分配律。

$1 (2 x + \frac{2}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

解题步骤 3.5.2

运用分配律。

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x + \frac{2}{x})$

解题步骤 3.5.3

运用分配律。

$1 (2 x) + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1.1

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 1 \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.2

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $1$ 。

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.1.3.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.3.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (2 x) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.3.3

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.3.4

约去公因数。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.3.5

重写表达式。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1}{x} \cdot 2 - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.4

组合 $\frac{- 1}{x}$ 和 $2$ 。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 1 \cdot 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 x + \frac{2}{x} + \frac{- 2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.6

将负号移到分数的前面。

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

解题步骤 3.6.1.7

乘以 $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ 。

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解题步骤 3.6.1.7.1

将 $\frac{2}{x}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

解题步骤 3.6.1.7.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.7.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.1.7.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

解题步骤 3.6.1.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

解题步骤 3.6.1.7.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x + \frac{2}{x} - \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 3.6.2

从 $\frac{2}{x}$ 中减去 $\frac{2}{x}$ 。

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 3.6.3

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$

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