微积分学示例

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

解题步骤 1

设 $y = f (θ)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (θ))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 2

将 $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ 重写为 $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ 。

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

对 $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ 对 $θ$ 的导数是 $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \ln (θ)$ 且 $g (θ) = \sec (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\sec (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3.1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3.1.3

使用 $\sec (θ)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3.2

$\sec (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec (θ) \tan (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3.3

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.3.5

将 $\cos (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

解题步骤 3.2.4

计算 $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ 等于 $f' (g (θ)) g' (θ)$ ，其中 $f (θ) = \ln (θ)$ 且 $g (θ) = \tan (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\tan (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

解题步骤 3.2.4.1.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

解题步骤 3.2.4.1.3

使用 $\tan (θ)$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

解题步骤 3.2.4.2

$\tan (θ)$ 对 $θ$ 的导数为 $\sec^{2} (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

解题步骤 3.2.4.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

解题步骤 3.2.4.5

将 $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ 转换成 $\cot (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

解题步骤 3.2.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.1

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.2.1.1

将 $\cos (θ)$ 和 $\sec (θ)$ 重新排序。

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.1.2

将 $\cos (θ) \sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.1.3

约去公因数。

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.2

将 $\tan (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.3

将 $\tan (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.4

将 $\sec (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.5

对 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 运用乘积法则。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

解题步骤 3.2.5.2.7

将 $\cot (θ)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

解题步骤 3.2.5.2.8

合并。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 3.2.5.2.9

约去 $\cos (θ)$ 和 $\cos^{2} (θ)$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.2.9.1

从 $1 \cos (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 3.2.5.2.9.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.2.9.2.1

从 $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ 中分解出因数 $\cos (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

解题步骤 3.2.5.2.9.2.2

约去公因数。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

解题步骤 3.2.5.2.9.2.3

重写表达式。

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 3.2.5.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.3.1

将 $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ 转换成 $\tan (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

解题步骤 3.2.5.3.2

分离分数。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

解题步骤 3.2.5.3.3

将 $\frac{1}{\cos (θ)}$ 转换成 $\sec (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

解题步骤 3.2.5.3.4

将 $\frac{1}{\sin (θ)}$ 转换成 $\csc (θ)$ 。

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

运用分配律。

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5.2

乘以 $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5.2.2

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5.3

乘以 $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

解题步骤 5.3.2

对 $\sec (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

解题步骤 5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

解题步骤 5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

微积分学 示例

微积分学示例