微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

解题步骤 1

因为项 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 2.1.2

对于根式，当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 2.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x}$ 重写成 ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.3

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.4

对 $5 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $5^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.9

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.11

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.13

组合 $5^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 2.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 2.5.1

将 $5^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 2.5.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

解题步骤 2.6

将 $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 3

因为项 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

解题步骤 5.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $\sqrt{5}$ 。

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

解题步骤 5.3

将 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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