微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

解题步骤 2.2

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

解题步骤 5.2

因为函数 $t^{\frac{1}{2}}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $2$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 5.2.1

思考去掉常数倍数 $2$ 后的极限。

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

解题步骤 5.2.2

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{t}$ 。

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

解题步骤 5.2.3

对于根式，当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

解题步骤 5.3

计算极限值。

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解题步骤 5.3.1

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\infty - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.3.2

化简答案。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\infty - 2$

解题步骤 5.3.2.2

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\infty$

微积分学 示例

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