微积分学示例

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x) + \cos (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x) + \cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

解题步骤 5.2.3

运用分配律。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.1

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.2

乘以 $2 \sin (x) (- \sin (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.3

乘以 $2 \cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.3.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

解题步骤 5.3.1.4

将 $2 \cos (x)$ 和 $- \sin (x)$ 重新排序。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

解题步骤 5.3.1.5

添加圆括号。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

解题步骤 5.3.1.6

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

解题步骤 5.3.1.7

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

解题步骤 5.3.2

从 $\sin (2 x)$ 中减去 $\sin (2 x)$ 。

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 5.3.3

从 $0$ 中减去 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

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