微积分学示例

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

解题步骤 1

检验 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

要求函数在 $[1, 2]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{1}{4 x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 x = 0$

解题步骤 1.1.2

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.1.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 1.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 2.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 2.1.1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 2.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

解题步骤 2.1.1.3.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

解题步骤 2.1.1.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ 。

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[1, 2]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

要求函数在 $[1, 2]$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $\frac{1}{4 x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$4 x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.1

将 $4 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.2.1.1

将 $4 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.1.2.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{4}$

解题步骤 2.2.1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.2.1.2.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.2.1.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.2.1.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.2.1.2.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[1, 2]$ 上可微，因为其导数在 $[1, 2]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[1, 2]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[1, 2]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 的导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

解题步骤 4.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ 。

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解题步骤 4.3.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 4.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

解题步骤 4.3.4

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{- 2}$ 。

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

解题步骤 4.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

解题步骤 6.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.2.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 6.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 6.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.3

乘以 $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.4

化简。

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解题步骤 6.4.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{- 2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

移动 $x^{- 2}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.4.1.3

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.4.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

解题步骤 6.5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

解题步骤 6.6

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

解题步骤 6.7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

解题步骤 6.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

解题步骤 6.9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 6.10

代入并化简。

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解题步骤 6.10.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

解题步骤 6.10.2

计算 $- x^{- 1}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3

化简。

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解题步骤 6.10.3.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.4

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.5

组合 $4$ 和 $\frac{7}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.6

将 $4$ 乘以 $7$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

解题步骤 6.10.3.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

解题步骤 6.10.3.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

解题步骤 6.10.3.10

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

解题步骤 6.10.3.11

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

解题步骤 6.10.3.12

要将 $\frac{28}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

解题步骤 6.10.3.13

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 6.10.3.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.10.3.14.1

将 $\frac{28}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 6.10.3.14.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

解题步骤 6.10.3.14.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

解题步骤 6.10.3.14.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

解题步骤 6.10.3.15

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

解题步骤 6.10.3.16

化简分子。

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解题步骤 6.10.3.16.1

将 $28$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

解题步骤 6.10.3.16.2

将 $56$ 和 $3$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

解题步骤 6.10.3.17

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{59}{6}$ 。

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

解题步骤 6.10.3.18

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$\frac{59}{24}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{59}{24}$

小数形式：

$2.458\overline{3}$

带分数形式：

$2 \frac{11}{24}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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