微积分学示例

$\int \sqrt{x} (3 x - 2) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 3 x - 2$ ， $d v = \sqrt{x}$ 。

$(3 x - 2) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d x$

解题步骤 2.3

组合 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $3$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} d x$

解题步骤 2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

解题步骤 2.5

从 $6 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} d x$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d x$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d x$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} d x$

解题步骤 2.6.4

用 $2 x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (2 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

解题步骤 6.2

将 $(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ 重写为 $2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ 。

$2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 。

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

解题步骤 6.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3.4

将负号移到分数的前面。

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

解题步骤 6.3.5

要将 $2 x^{\frac{5}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 6.3.6

组合 $2 x^{\frac{5}{2}}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 6.3.7

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 6.3.8

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 6.3.9

从 $10 x^{\frac{5}{2}}$ 中减去 $4 x^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

解题步骤 6.4

重新排序项。

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

微积分学 示例

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