微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} (x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{- 1}^{1} x + 2 x^{2} - x^{3} + 5 x^{4} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 7

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 5 x^{4} d x$

解题步骤 10

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 \int_{- 1}^{1} x^{4} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\frac{1}{2} x^{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 12.2.3

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1})$

解题步骤 12.2.4

计算 $\frac{x^{5}}{5}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5

化简。

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解题步骤 12.2.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 1}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.6

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.7

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.7.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (0)}{2} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.7.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.7.2.3

重写表达式。

$\frac{0}{1} + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.7.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0 + 2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.8

一的任意次幂都为一。

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.9

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 + 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.10

将负号移到分数的前面。

$0 + 2 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.12

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.13

在公分母上合并分子。

$0 + 2 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 + 2 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.15

组合 $2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$0 + \frac{2 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.16

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.17

将 $0$ 和 $\frac{4}{3}$ 相加。

$\frac{4}{3} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.18

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.19

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4}{3} - (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.20

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} - \frac{1 - 1}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.21

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{0}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.22

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.22.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{4 (0)}{4} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.22.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.22.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.22.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{3} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.22.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{3} - \frac{0}{1} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.22.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{3} - 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.23

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{4}{3} + 0 + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.24

将 $\frac{4}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1^{5}}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.25

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{{(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 12.2.5.26

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - \frac{- 1}{5})$

解题步骤 12.2.5.27

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} - - \frac{1}{5})$

解题步骤 12.2.5.28

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + 1 (\frac{1}{5}))$

解题步骤 12.2.5.29

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{1}{5} + \frac{1}{5})$

解题步骤 12.2.5.30

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} + 5 \frac{1 + 1}{5}$

解题步骤 12.2.5.31

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{3} + 5 (\frac{2}{5})$

解题步骤 12.2.5.32

组合 $5$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

解题步骤 12.2.5.33

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{10}{5}$

解题步骤 12.2.5.34

约去 $10$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.34.1

从 $10$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5}$

解题步骤 12.2.5.34.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.34.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 (1)}$

解题步骤 12.2.5.34.2.2

约去公因数。

$\frac{4}{3} + \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.5.34.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{3} + \frac{2}{1}$

解题步骤 12.2.5.34.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{3} + 2$

解题步骤 12.2.5.35

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 12.2.5.36

组合 $2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 12.2.5.37

在公分母上合并分子。

$\frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 12.2.5.38

化简分子。

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解题步骤 12.2.5.38.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 + 6}{3}$

解题步骤 12.2.5.38.2

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$\frac{10}{3}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{10}{3}$

小数形式：

$3.\overline{3}$

带分数形式：

$3 \frac{1}{3}$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例