微积分学示例

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

解题步骤 1

检验 $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

要求函数在 $[0, 1]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1.1

将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{2} \geq - 2$

解题步骤 1.1.2.2

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 2$

解题步骤 1.1.2.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.4

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.4.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.5

将 $| x | \leq \sqrt{2}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.1.2.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.1.2.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.1.2.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.1.2.6

求 $x \leq \sqrt{2}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.1.2.7.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.1.2.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.1.2.7.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$x \geq - \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.2.7.2

求 $x \geq - \sqrt{2}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

解题步骤 1.1.2.8

求解的并集。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合符号：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

区间计数法：

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

集合符号：

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 重写成 ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用 $2 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.6

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.7

合并分数。

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解题步骤 2.1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.8

根据加法法则， $2 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.1.1.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.1.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 2.1.1.13

化简项。

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解题步骤 2.1.1.13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 2.1.1.13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 2.1.1.13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.14

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.14.1

从 $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.1.1.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.14.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.15

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[0, 1]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

要求函数在 $[0, 1]$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.2.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.2.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

解题步骤 2.2.1.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 2.2.1.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{2} \geq - 2$

解题步骤 2.2.1.3.2

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.3.2.1

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 2$

解题步骤 2.2.1.3.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.4

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.3.4.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.5

将 $| x | \leq \sqrt{2}$ 书写为分段式。

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解题步骤 2.2.1.3.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2.1.3.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 2.2.1.3.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 2.2.1.3.6

求 $x \leq \sqrt{2}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.7

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.3.7.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.3.7.1.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.3.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.3.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.3.7.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.3.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.7.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$x \geq - \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.3.7.2

求 $x \geq - \sqrt{2}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

解题步骤 2.2.1.3.8

求解的并集。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.4

将 $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

解题步骤 2.2.1.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.5.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.1.5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 重写成 ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.5.2.2.1

化简 ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.5.2.2.1.1

将 ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.5.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.2.2.1.2

化简。

$2 - x^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.1.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.5.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$2 - x^{2} = 0$

解题步骤 2.2.1.5.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1.5.3.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{2} = - 2$

解题步骤 2.2.1.5.3.2

将 $- x^{2} = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.5.3.2.1

将 $- x^{2} = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.5.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.5.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.2.1.5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.5.3.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 2.2.1.5.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.5.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.1.5.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.5.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.5.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 2.2.1.6

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

集合符号：

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

区间计数法：

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

集合符号：

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在 $[0, 1]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[0, 1]$ 上可微，因为其导数在 $[0, 1]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[0, 1]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[0, 1]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ 的导数。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 - x^{2}}$ 重写成 ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 2 - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $2 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

解题步骤 4.8

根据加法法则， $2 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 4.9

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 4.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 4.13

化简项。

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解题步骤 4.13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 4.13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 4.13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14

约去公因数。

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解题步骤 4.14.1

从 $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.14.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例