微积分学示例

$\frac{e^{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - e^{x} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

解题步骤 13

组合 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} e^{x}}{2}}{x}$

解题步骤 14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

重新排序项。

$\frac{e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2

化简分子。

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解题步骤 15.2.1

从 $e^{x} x^{\frac{1}{2}} - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 15.2.1.1

从 $e^{x} x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.1.2

从 $- \frac{e^{x}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 15.2.1.3

从 $e^{x} (x^{\frac{1}{2}}) + e^{x} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 15.2.2

要将 $x^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{x} (x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 15.2.3

组合 $x^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{x}$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} \frac{x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5.2

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.2.5.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{\frac{2}{2}} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5.2.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{e^{x} \frac{2 x^{1} - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.2.5.3

化简 $2 x^{1}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.3

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{2 x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

解题步骤 15.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 15.5

合并。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

解题步骤 15.6

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 15.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 15.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 15.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 15.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 15.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 15.6.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{e^{x} (2 x - 1) \cdot 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 15.7

将 $e^{x} (2 x - 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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