微积分学示例

$\int_{1}^{3} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} - \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int_{1}^{3} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int_{1}^{3} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int_{1}^{3} x^{- 2} d x + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} - \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{6}{x^{3}} d x$

解题步骤 6

由于 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $6$ 移到积分外。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - (6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 7.2

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.3

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.3.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 \int_{1}^{3} x^{- 3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{3})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{3})$

解题步骤 9.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$- x^{- 1}]_{1}^{3} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $- x^{- 1}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{3})$

解题步骤 9.2.2

计算 $- \frac{1}{2 x^{2}}$ 在 $3$ 处和在 $1$ 处的值。

$(- 3^{- 1}) + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3

化简。

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解题步骤 9.2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{3} + 1^{- 1} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.2

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{3} + 1 - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + 3}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{2}{3} - 6 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.7

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 9.2.3.8

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.3.9

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2})$

解题步骤 9.2.3.10

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{9})$

解题步骤 9.2.3.11

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $18$ 的形式。

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解题步骤 9.2.3.11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{2 \cdot 9})$

解题步骤 9.2.3.11.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{2}{3} - 6 (- \frac{1}{18} + \frac{9}{18})$

解题步骤 9.2.3.12

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} - 6 \frac{- 1 + 9}{18}$

解题步骤 9.2.3.13

将 $- 1$ 和 $9$ 相加。

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{8}{18})$

解题步骤 9.2.3.14

约去 $8$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.14.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 (4)}{18}$

解题步骤 9.2.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.14.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

解题步骤 9.2.3.14.2.2

约去公因数。

$\frac{2}{3} - 6 \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 9}$

解题步骤 9.2.3.14.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3} - 6 (\frac{4}{9})$

解题步骤 9.2.3.15

组合 $- 6$ 和 $\frac{4}{9}$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{- 6 \cdot 4}{9}$

解题步骤 9.2.3.16

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{- 24}{9}$

解题步骤 9.2.3.17

约去 $- 24$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.17.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{3 (- 8)}{9}$

解题步骤 9.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.17.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.3.17.2.2

约去公因数。

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.3.17.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{3} + \frac{- 8}{3}$

解题步骤 9.2.3.18

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} - \frac{8}{3}$

解题步骤 9.2.3.19

在公分母上合并分子。

$\frac{2 - 8}{3}$

解题步骤 9.2.3.20

从 $2$ 中减去 $8$ 。

$\frac{- 6}{3}$

解题步骤 9.2.3.21

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.21.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3}$

解题步骤 9.2.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.3.21.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)}$

解题步骤 9.2.3.21.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 9.2.3.21.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{1}$

解题步骤 9.2.3.21.2.4

用 $- 2$ 除以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 10

微积分学 示例

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