微积分学示例

$\int (\frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

解题步骤 2

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1}) \cdot 2} d u_{1}$

解题步骤 3.2

将 $2$ 移到 $\cos (u_{1})$ 的左侧。

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{2 \cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} d u_{1}$

解题步骤 5

使 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $- d u_{2} = - \cos (u_{1}) d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $\sin (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

解题步骤 5.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1})$

解题步骤 5.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{2} \int 1 (1 + u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 6.2

将 $1 + u_{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \int 1 + u_{2} d u_{2}$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

解题步骤 9

根据幂法则， $u_{2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

解题步骤 10

化简。

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

解题步骤 11

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 11.1

使用 $\sin (u_{1})$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin^{2} (u_{1})) + C$

解题步骤 11.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x)) + C$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin^{2} (2 x)$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2}) + C$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

解题步骤 12.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 x)$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

解题步骤 12.4

合并。

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1 \sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 12.5

化简每一项。

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解题步骤 12.5.1

将 $\sin^{2} (2 x)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 12.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{4} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$

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