微积分学示例

$f (x) = {\begin{cases} 6 & x < - 4 \\ - 10 + x^{2} & - 4 \leq x < 4 \\ 2 x - 2 & x \geq 4 \end{cases}$

解题步骤 1

当 $x$ 从左侧趋于 $- 4$ 时，求 $6$ 的极限。

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解题步骤 1.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to {(- 4)}^{-}} 6$

解题步骤 1.2

计算 $6$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 4$ 时此极限值为常数。

$6$

解题步骤 2

计算 $- 10 + x^{2}$ 在 $- 4$ 处的值。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$- 10 + {(- 4)}^{2}$

解题步骤 2.2

计算。

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解题步骤 2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 10 + 16$

解题步骤 2.2.2

将 $- 10$ 和 $16$ 相加。

$6$

解题步骤 3

由于当 $x$ 从左侧趋于 $- 4$ 时， $6$ 的极限等于 $x = - 4$ 处的函数值，因此函数在 $x = - 4$ 处连续。

连续

解题步骤 4

当 $x$ 从左侧趋于 $4$ 时，求 $- 10 + x^{2}$ 的极限。

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解题步骤 4.1

将左右极限改为左极限。

$lim_{x \to 4^{-}} - 10 + x^{2}$

解题步骤 4.2

计算极限值。

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解题步骤 4.2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- lim_{x \to 4^{-}} 10 + lim_{x \to 4^{-}} x^{2}$

解题步骤 4.2.2

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$- 1 \cdot 10 + lim_{x \to 4^{-}} x^{2}$

解题步骤 4.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$- 10 + {(lim_{x \to 4^{-}} x)}^{2}$

解题步骤 4.3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$- 10 + 4^{2}$

解题步骤 4.4

化简答案。

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解题步骤 4.4.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 10 + 16$

解题步骤 4.4.2

将 $- 10$ 和 $16$ 相加。

$6$

解题步骤 5

计算 $2 x - 2$ 在 $4$ 处的值。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$2 (4) - 2$

解题步骤 5.2

计算。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 - 2$

解题步骤 5.2.2

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$6$

解题步骤 6

由于当 $x$ 从左侧趋于 $4$ 时， $- 10 + x^{2}$ 的极限等于 $x = 4$ 处的函数值，因此函数在 $x = 4$ 处连续。

连续

解题步骤 7

微积分学 示例

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