微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

解题步骤 1.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{3 x}}$

解题步骤 1.1.3

对于根式，当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x)}{\sqrt{3 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.5.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.5.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.7

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x}]}$

解题步骤 1.3.8

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 x}$ 重写成 ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.9

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.10

对 $3 (x)$ 运用乘积法则。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.11

因为 $3^{\frac{1}{2}}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 1.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

解题步骤 1.3.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

解题步骤 1.3.14

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.15

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.16

化简分子。

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解题步骤 1.3.16.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

解题步骤 1.3.16.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

解题步骤 1.3.17

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.3.18

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.19

组合 $3^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

解题步骤 1.3.20

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 1.5.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{3^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.5.2

将 $3^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{3}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.6

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{3}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{3}}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 3.1.2

对于根式，当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 3.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7

化简分子。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.9

化简。

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解题步骤 3.3.9.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.9.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

解题步骤 3.5

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

解题步骤 3.6

将 $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

解题步骤 4

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 0$

解题步骤 6.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 0$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot 0$

解题步骤 6.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} \cdot 0$

解题步骤 6.3.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 0$

解题步骤 6.4

将 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 乘以 $0$ 。

$0$

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