微积分学示例

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\sqrt{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sqrt{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\sqrt{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\sqrt{x}})$ 。

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sqrt{x} \ln (x)}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln (x)}$

解题步骤 3

将 $\sqrt{x} \ln (x)$ 重写为 $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

解题步骤 4.1.2

当 $x$ 从右边趋于 $0$ 时， $\ln (x)$ 无限递减。

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}}}}$

解题步骤 4.1.3

由于分子是正数，分母 $\sqrt{x}$ 趋向于零且对于在 $0$ 右边的 $x$ 大于零，所以函数无限递增。

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{- \infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

解题步骤 4.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sqrt{x}}]}}$

解题步骤 4.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]}}$

解题步骤 4.3.5

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]}}$

解题步骤 4.3.5.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]}}$

解题步骤 4.3.5.3

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]}}$

解题步骤 4.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1}}}$

解题步骤 4.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.9

在公分母上合并分子。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.10

化简分子。

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解题步骤 4.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}}$

解题步骤 4.3.10.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}}}}$

解题步骤 4.3.11

将负号移到分数的前面。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}}}$

解题步骤 4.3.12

化简。

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解题步骤 4.3.12.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}}$

解题步骤 4.3.12.2

合并项。

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解题步骤 4.3.12.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}}}$

解题步骤 4.3.12.2.2

将 $2$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5

合并因数。

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解题步骤 4.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 2 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.5.3

组合 $\frac{- 2}{x}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

解题步骤 4.6

简化。

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解题步骤 4.6.1

从 $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x^{1}}}$

解题步骤 4.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

解题步骤 4.6.2.3

约去公因数。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{x \cdot - 2 x^{\frac{1}{2}}}{x \cdot 1}}$

解题步骤 4.6.2.4

重写表达式。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1}}$

解题步骤 4.6.2.5

用 $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

计算极限值。

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解题步骤 5.1

因为项 $- 2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5.2

使用极限幂法则把 $x^{\frac{1}{2}}$ 的指数 $\frac{1}{2}$ 移到极限外。

$e^{- 2 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{- 2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

化简答案。

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解题步骤 7.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$e^{- 2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 7.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.3.1

约去公因数。

$e^{- 2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 7.1.3.2

重写表达式。

$e^{- 2 \cdot 0^{1}}$

解题步骤 7.1.4

计算指数。

$e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 7.1.5

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 7.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

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