微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{5 x^{n} - 3 x^{n - 1} + 4 x^{n - 2}}{2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{n} - 3 x^{n - 1} + 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} 5 x^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 lim_{x \to 0} x^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{n}$ 的指数 $n$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - lim_{x \to 0} 3 x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 lim_{x \to 0} x^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 6

使用极限幂法则把 $x^{n - 1}$ 的指数 $n - 1$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + lim_{x \to 0} 4 x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 7

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 lim_{x \to 0} x^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 8

使用极限幂法则把 $x^{n - 2}$ 的指数 $n - 2$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 9

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{lim_{x \to 0} 2 x^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 10

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 lim_{x \to 0} x^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 11

使用极限幂法则把 $x^{n}$ 的指数 $n$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - lim_{x \to 0} 6 x^{n - 2}}$

解题步骤 12

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 lim_{x \to 0} x^{n - 2}}$

解题步骤 13

使用极限幂法则把 $x^{n - 2}$ 的指数 $n - 2$ 移到极限外。

$\frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

解题步骤 14

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 14.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \cdot 0^{n} - 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

解题步骤 14.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \cdot 0^{n} - 3 \cdot 0^{n - 1} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

解题步骤 14.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \cdot 0^{n} - 3 \cdot 0^{n - 1} + 4 \cdot 0^{n - 2}}{2 {(lim_{x \to 0} x)}^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

解题步骤 14.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \cdot 0^{n} - 3 \cdot 0^{n - 1} + 4 \cdot 0^{n - 2}}{2 \cdot 0^{n} - 6 {(lim_{x \to 0} x)}^{n - 2}}$

解题步骤 14.5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5 \cdot 0^{n} - 3 \cdot 0^{n - 1} + 4 \cdot 0^{n - 2}}{2 \cdot 0^{n} - 6 \cdot 0^{n - 2}}$

解题步骤 15

化简答案。

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解题步骤 15.1

重新排序项。

$\frac{5 \cdot 0^{n} + 4 \cdot 0^{n - 2} - 3 \cdot 0^{n - 1}}{2 \cdot 0^{n} - 6 \cdot 0^{n - 2}}$

解题步骤 15.2

从 $2 \cdot 0^{n} - 6 \cdot 0^{n - 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 15.2.1

从 $2 \cdot 0^{n}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5 \cdot 0^{n} + 4 \cdot 0^{n - 2} - 3 \cdot 0^{n - 1}}{2 (0^{n}) - 6 \cdot 0^{n - 2}}$

解题步骤 15.2.2

从 $- 6 \cdot 0^{n - 2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5 \cdot 0^{n} + 4 \cdot 0^{n - 2} - 3 \cdot 0^{n - 1}}{2 (0^{n}) + 2 (- 3 \cdot 0^{n - 2})}$

解题步骤 15.2.3

从 $2 (0^{n}) + 2 (- 3 \cdot 0^{n - 2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{5 \cdot 0^{n} + 4 \cdot 0^{n - 2} - 3 \cdot 0^{n - 1}}{2 (0^{n} - 3 \cdot 0^{n - 2})}$

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