微积分学示例

$\sqrt{x + y} + x y = 21$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + y}$ 重写成 ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y = 21$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y) = \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 3

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.8

化简分子。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y \cdot 1$

解题步骤 3.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + x y' + y$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$

解题步骤 4

因为 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $21$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + x y' + y = 0$

解题步骤 6

求解 $y'$ 。

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解题步骤 6.1

化简 $(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $1 + y'$ 乘以 $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' + y = 0$

解题步骤 6.1.2

要将 $x y'$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + x y' \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

解题步骤 6.1.3

组合 $x y'$ 和 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

解题步骤 6.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + y' + x y' (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

解题步骤 6.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y = 0$

解题步骤 6.1.6

要将 $y$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + y \cdot \frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.7

组合 $y$ 和 $\frac{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + y (2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$1 + y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $y'$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1$

解题步骤 6.3.1.2

从等式两边同时减去 $2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2

从 $y' + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + 2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

从 $2 x y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.2.3

从 $y' \cdot 1 + y' (2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.3.3

将 $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项除以 $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中的每一项都除以 $1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 1}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.3.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 1 - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.3.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y' = \frac{- 1 (1) - 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.3.3

从 $- 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.3.4

从 $- 1 (1) - (2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6.3.3.3.5

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 7

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 + 2 y {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{1 + 2 x {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

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