微积分学示例

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 1

在 $0$ 处分解积分并写为极限之和。

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 2

$\int_{t}^{0} e^{- x^{2}} d x$ 是一个特殊积分。该积分是误差函数。

$lim_{t \to - \infty} erf (x)]_{t}^{0} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $erf (x)$ 在 $0$ 处和在 $t$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} (erf (x)) - erf (x) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 3.2

从 $erf (x)$ 中减去 $erf (x)$ 。

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$

解题步骤 4

$\int_{0}^{t} e^{- x^{2}} d x$ 是一个特殊积分。该积分是误差函数。

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} erf (x)]_{0}^{t}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $erf (x)$ 在 $t$ 处和在 $0$ 处的值。

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} (erf (x)) - erf (x)$

解题步骤 5.2

从 $erf (x)$ 中减去 $erf (x)$ 。

$lim_{t \to - \infty} 0 + lim_{t \to \infty} 0$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

计算 $0$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$0 + lim_{t \to \infty} 0$

解题步骤 6.2

计算 $0$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$0 + 0$

解题步骤 6.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

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