微积分学示例

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

解题步骤 2

展开右边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$ 重写为 $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2}) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$ 。

$\ln (y) = \ln ({(x^{4} + 2)}^{2}) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$

解题步骤 2.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x^{4} + 2)}^{2})$ 。

$\ln (y) = 2 \ln (x^{4} + 2) + \ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$

解题步骤 2.3

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x^{3} + 4)}^{4})$ 。

$\ln (y) = 2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $2 \ln (x^{4} + 2) + 4 \ln (x^{3} + 4)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \ln (x^{4} + 2)]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \ln (x^{4} + 2)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{4} + 2)]$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x^{4} + 2)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + 2$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{4} + 2$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.2.3

使用 $x^{4} + 2$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.3

根据加法法则， $x^{4} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.5

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3} + 0)) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.6

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{1}{x^{4} + 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.7

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4} + 2}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 (\frac{4}{x^{4} + 2} x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.8

组合 $\frac{4}{x^{4} + 2}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.9

组合 $2$ 和 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{2 (4 x^{3})}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.3.10

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x^{3} + 4)]$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x^{3} + 4)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 4)]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 4)]$

解题步骤 3.2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{3} + 4$ 。

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解题步骤 3.2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{3} + 4$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

解题步骤 3.2.4.2.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

解题步骤 3.2.4.2.3

使用 $x^{3} + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4])$

解题步骤 3.2.4.3

根据加法法则， $x^{3} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]))$

解题步骤 3.2.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]))$

解题步骤 3.2.4.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2} + 0))$

解题步骤 3.2.4.6

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{1}{x^{3} + 4} (3 x^{2}))$

解题步骤 3.2.4.7

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{3} + 4}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 (\frac{3}{x^{3} + 4} x^{2})$

解题步骤 3.2.4.8

组合 $\frac{3}{x^{3} + 4}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + 4 \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$

解题步骤 3.2.4.9

组合 $4$ 和 $\frac{3 x^{2}}{x^{3} + 4}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{4 (3 x^{2})}{x^{3} + 4}$

解题步骤 3.2.4.10

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$

解题步骤 3.2.5

合并项。

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解题步骤 3.2.5.1

要将 $\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} \cdot \frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$

解题步骤 3.2.5.2

要将 $\frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2} \cdot \frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4} \cdot \frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$

解题步骤 3.2.5.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ 的形式。

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解题步骤 3.2.5.3.1

将 $\frac{8 x^{3}}{x^{4} + 2}$ 乘以 $\frac{x^{3} + 4}{x^{3} + 4}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)} + \frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4} \cdot \frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$

解题步骤 3.2.5.3.2

将 $\frac{12 x^{2}}{x^{3} + 4}$ 乘以 $\frac{x^{4} + 2}{x^{4} + 2}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)} + \frac{12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

解题步骤 3.2.5.3.3

重新排序 $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ 的因式。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)} + \frac{12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

解题步骤 3.2.5.4

在公分母上合并分子。

$\frac{y'}{y} = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)} ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

约去 $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

从 $(x^{3} + 4) (x^{4} + 2)$ 中分解出因数 $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ 。

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) (1)} ({(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4})$

解题步骤 5.1.2

从 ${(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$ 中分解出因数 $(x^{4} + 2) (x^{3} + 4)$ 。

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) (1)} ((x^{4} + 2) (x^{3} + 4) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3}))$

解题步骤 5.1.3

约去公因数。

$y' = \frac{8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)}{(x^{4} + 2) (x^{3} + 4) \cdot 1} ((x^{4} + 2) (x^{3} + 4) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3}))$

解题步骤 5.1.4

重写表达式。

$y' = (8 x^{3} (x^{3} + 4) + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$y' = (8 x^{3} x^{3} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$y' = (8 (x^{3} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = (8 x^{3 + 3} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$y' = (8 x^{6} + 8 x^{3} \cdot 4 + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.3

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{2} (x^{4} + 2)) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.4

运用分配律。

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{2} x^{4} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

移动 $x^{4}$ 。

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 (x^{4} x^{2}) + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{4 + 2} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.5.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{6} + 12 x^{2} \cdot 2) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.2.6

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$y' = (8 x^{6} + 32 x^{3} + 12 x^{6} + 24 x^{2}) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.3

将 $8 x^{6}$ 和 $12 x^{6}$ 相加。

$y' = (20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) ((x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.4

运用分配律。

$y' = (20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3} + 2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(20 x^{6} + 32 x^{3} + 24 x^{2}) (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3} + 2 {(x^{3} + 4)}^{3})$ 。

$y' = 20 x^{6} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

移动 $x^{4}$ 。

$y' = 20 (x^{4} x^{6}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = 20 x^{4 + 6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.1.3

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 x^{6} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 20 \cdot 2 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.3

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.6.4.1

移动 $x^{4}$ 。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 (x^{4} x^{3}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{4 + 3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.4.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{3} (2 {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.5

使用乘法的交换性质重写。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 \cdot 2 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.6

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (x^{4} {(x^{3} + 4)}^{3}) + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 5.6.7.1

移动 $x^{4}$ 。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 (x^{4} x^{2}) {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{4 + 2} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.7.3

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{2} (2 {(x^{3} + 4)}^{3})$

解题步骤 5.6.8

使用乘法的交换性质重写。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 \cdot 2 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

解题步骤 5.6.9

将 $24$ 乘以 $2$ 。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

解题步骤 5.7

将 $40 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3}$ 和 $24 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3}$ 相加。

$y' = 20 x^{10} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{6} {(x^{3} + 4)}^{3} + 32 x^{7} {(x^{3} + 4)}^{3} + 64 x^{3} {(x^{3} + 4)}^{3} + 48 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3}$

微积分学 示例

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