微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - a}$ 重写成 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x - a$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - a$ 。

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3.3

使用 $x - a$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.9

根据加法法则， $x - a$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.11

因为 $- a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- a$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.12.2

将 $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.14

将 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.15

要将 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.16

组合 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.17

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18

通过指数相加将 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.18.1

移动 ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.3

在公分母上合并分子。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.18.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.19

化简 ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ 。

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.20

将 $2$ 移到 $x - a$ 的左侧。

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.21.1

运用分配律。

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.21.2.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.2.2

将 $x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.3

重新排序项。

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.4

从 $- 2 a$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.5

从 $3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.6

从 $- (2 a) - (- 3 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.7

将 $- (2 a - 3 x)$ 重写为 $- 1 (2 a - 3 x)$ 。

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.21.8

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$2 a - 3 x = 0$

解题步骤 2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $2 a$ 。

$- 3 x = - 2 a$

解题步骤 2.3.2

将 $- 3 x = - 2 a$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.1

将 $- 3 x = - 2 a$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{2 a}{3}$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x \sqrt{x - a}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

在 $x = \frac{2 a}{3}$ 处计算

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{2 a}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

解题步骤 4.1.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

要将 $- a$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 4.1.2.2

组合 $- a$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

解题步骤 4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

解题步骤 4.1.2.4

以因式分解的形式重写 $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.4.1

从 $2 a - a \cdot 3$ 中分解出因数 $a$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.4.1.1

从 $2 a$ 中分解出因数 $a$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

解题步骤 4.1.2.4.1.2

从 $- a \cdot 3$ 中分解出因数 $a$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

解题步骤 4.1.2.4.1.3

从 $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ 中分解出因数 $a$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

解题步骤 4.1.2.4.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

解题步骤 4.1.2.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.5.1

将 $- 1$ 移到 $a$ 的左侧。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

解题步骤 4.1.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

解题步骤 4.1.2.6

组合 $\frac{2 a}{3}$ 和 $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ 。

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

解题步骤 4.2

列出所有的点。

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

解题步骤 5

微积分学 示例

微积分学示例