微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{8 x \cot (2 x)}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

因为项 $\frac{1}{8}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{x \cot (2 x)}$

解题步骤 1.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

解题步骤 1.3

把极限移到三角函数里，因为余弦是连续的。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

解题步骤 1.4

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

解题步骤 2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (2 x)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $x \cot (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x \cot (2 x)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$0.5$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (2 x)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $x \cot (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $0.5$ 。因此， $x \cot (2 x)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $0.5$ 。

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

约去 $0.5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

从 $1$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$\frac{0.5 (2)}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

解题步骤 9.1.2

约去公因数。

$\frac{0.5 \cdot 2}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

解题步骤 9.1.3

重写表达式。

$\frac{2}{8} \cos (5 \cdot 0)$

解题步骤 9.2

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2}{8} \cos (0)$

解题步骤 9.3

组合 $\frac{2}{8}$ 和 $\cos (0)$ 。

$\frac{2 \cos (0)}{8}$

解题步骤 9.4

约去 $2$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

从 $2 \cos (0)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\cos (0))}{8}$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

解题步骤 9.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\cos (0)}{4}$

解题步骤 9.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

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