微积分学示例

$\int x^{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x^{2}$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$x^{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x$

解题步骤 2

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解题步骤 2.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{2} (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x$

解题步骤 2.2

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} (2 x) d x$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 2}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - (\frac{- 1}{1} \int e^{- 2 x} (x) d x)$

解题步骤 4.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - - \int e^{- 2 x} (x) d x$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + 1 \int e^{- 2 x} (x) d x$

解题步骤 4.5

将 $\int e^{- 2 x} (x) d x$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} (x) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{- 2 x}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6

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解题步骤 6.1

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + x (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 6.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

解题步骤 7

由于 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 8

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

解题步骤 8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

解题步骤 9

使 $u = - 2 x$ 。然后使 $d u = - 2 d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 9.1

设 $u = - 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 9.1.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 9.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 9.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 9.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 10

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解题步骤 10.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 10.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

解题步骤 12

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

解题步骤 13

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解题步骤 13.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 13.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 14

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 15

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解题步骤 15.1

将 $- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 。

$- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 15.2

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解题步骤 15.2.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{x^{2}}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 15.2.2

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x^{2}}{2}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 15.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{x}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 15.2.4

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{x}{2}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 16

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 17

组合 $e^{- 2 x}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{e^{- 2 x} x^{2}}{2} - \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 19

将 $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ 重写为 $- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ 。

$- \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} - \frac{x e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

解题步骤 20

去掉圆括号。

$- \frac{1}{2} x^{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{2} x e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

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