微积分学示例

$lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{{(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 2} \sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 2} (t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4 \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.4

计算 $4$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot lim_{t \to 2} {(t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.5

使用极限幂法则把 ${(t - 2)}^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.6

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.7

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{(lim_{t \to 2} t + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8

将 $2$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.8.1

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{(2 + 4) \cdot {(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.8.2

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{\sqrt{(2 + 4) \cdot {(2 - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.9.1

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{\sqrt{6 {(2 - 1 \cdot 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6 {(2 - 2)}^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0^{4}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.5

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{0^{2}}}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.9.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0}{lim_{t \to 2} {(3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

使用极限幂法则把 ${(3 t - 6)}^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} 3 t - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.2

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{{(lim_{t \to 2} 3 t - lim_{t \to 2} 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.3

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(3 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.1.4

计算 $6$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(3 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0}{{(6 - 1 \cdot 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$\frac{0}{{(6 - 6)}^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$\frac{0}{0^{2}}$

解题步骤 1.1.3.3.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 2} \frac{\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}}{{(3 t - 6)}^{2}} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {(t - 2)}^{4}}]$ 重写为 $\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 2^{2}}]$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $(t + 4) {(t - 2)}^{4}$ 重写为 ${({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 2^{2})$ 。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将 ${(t - 2)}^{4}$ 重写为 ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{(t + 4) {({(t - 2)}^{2})}^{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.1.2

将 $t + 4$ 和 ${({(t - 2)}^{2})}^{2}$ 重新排序。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{{({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 4)}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.1.3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [\sqrt{{({(t - 2)}^{2})}^{2} (t + 2^{2})}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.2.2

从根式下提出各项。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 2^{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} \sqrt{t + 4}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 4}$ 重写成 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = {(t - 2)}^{2}$ 且 $g (t) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t + 4$ 。

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解题步骤 1.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $t + 4$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.6.3

使用 $t + 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.10

化简分子。

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解题步骤 1.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 2} \frac{{(t - 2)}^{2} (\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.14

组合 $\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 ${(t - 2)}^{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4] + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.15

根据加法法则， $t + 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [4]) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.17

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.18

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.19

将 $\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [{(t - 2)}^{2}]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.20

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t - 2$ 。

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解题步骤 1.3.20.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t - 2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.20.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.20.3

使用 $t - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (2 (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.21

将 $2$ 移到 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.22

根据加法法则， $t - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.23

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.24

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.25

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.26

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.27

要将 $2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) \cdot \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.28

组合 $2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2)$ 和 $\frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.29

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.30

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (t - 2) {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.31

通过指数相加将 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.31.1

移动 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.31.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.31.3

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.31.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.31.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 {(t + 4)}^{1} (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.32

化简 $4 {(t + 4)}^{1} (t - 2)$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + 4 (t + 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33

化简。

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解题步骤 1.3.33.1

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{{(t - 2)}^{2} + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2

化简分子。

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解题步骤 1.3.33.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.33.2.1.1

将 ${(t - 2)}^{2}$ 重写为 $(t - 2) (t - 2)$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(t - 2) (t - 2)$ 。

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解题步骤 1.3.33.2.1.2.1

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t (t - 2) - 2 (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.2.2

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t \cdot t + t \cdot - 2 - 2 (t - 2) + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.2.3

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t \cdot t + t \cdot - 2 - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.33.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.33.2.1.3.1.1

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} + t \cdot - 2 - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.3.1.2

将 $- 2$ 移到 $t$ 的左侧。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 2 \cdot t - 2 t - 2 \cdot - 2 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 2 t - 2 t + 4 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.3.2

从 $- 2 t$ 中减去 $2 t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + (4 t + 4 \cdot 4) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + (4 t + 16) (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(4 t + 16) (t - 2)$ 。

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解题步骤 1.3.33.2.1.5.1

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t (t - 2) + 16 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.5.2

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 16 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.5.3

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t \cdot t + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.33.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.33.2.1.6.1.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.3.33.2.1.6.1.1.1

移动 $t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 (t \cdot t) + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.6.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} + 4 t \cdot - 2 + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.6.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} - 8 t + 16 t + 16 \cdot - 2}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.6.1.3

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} - 8 t + 16 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.1.6.2

将 $- 8 t$ 和 $16 t$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{t^{2} - 4 t + 4 + 4 t^{2} + 8 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.2

将 $t^{2}$ 和 $4 t^{2}$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} - 4 t + 4 + 8 t - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.3

将 $- 4 t$ 和 $8 t$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 t + 4 - 32}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.2.4

从 $4$ 中减去 $32$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.3

分组因式分解。

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解题步骤 1.3.33.3.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot - 28 = - 140$ 并且它们的和为 $b = 4$ 。

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解题步骤 1.3.33.3.1.1

从 $4 t$ 中分解出因数 $4$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + 4 (t) - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.3.1.2

把 $4$ 重写为 $- 10$ 加 $14$

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} + (- 10 + 14) t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.3.1.3

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t^{2} - 10 t + 14 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.3.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.3.33.3.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(5 t^{2} - 10 t) + 14 t - 28}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.3.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{5 t (t - 2) + 14 (t - 2)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.33.3.3

通过因式分解出最大公因数 $t - 2$ 来因式分解多项式。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [{(3 t - 6)}^{2}]}$

解题步骤 1.3.34

将 ${(3 t - 6)}^{2}$ 重写为 $(3 t - 6) (3 t - 6)$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [(3 t - 6) (3 t - 6)]}$

解题步骤 1.3.35

使用 FOIL 方法展开 $(3 t - 6) (3 t - 6)$ 。

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解题步骤 1.3.35.1

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t - 6) - 6 (3 t - 6)]}$

解题步骤 1.3.35.2

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t - 6)]}$

解题步骤 1.3.35.3

运用分配律。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 t (3 t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.36.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.36.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36.1.2

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.3.36.1.2.1

移动 $t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36.1.2.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} + 3 t \cdot - 6 - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36.1.4

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 6 (3 t) - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36.1.5

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 18 t - 6 \cdot - 6]}$

解题步骤 1.3.36.1.6

将 $- 6$ 乘以 $- 6$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 18 t - 18 t + 36]}$

解题步骤 1.3.36.2

从 $- 18 t$ 中减去 $18 t$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2} - 36 t + 36]}$

解题步骤 1.3.37

根据加法法则， $9 t^{2} - 36 t + 36$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [9 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.38

因为 $9$ 对于 $t$ 是常数，所以 $9 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $9 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{9 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.39

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{9 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.40

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t + \frac{d}{d t} [- 36 t] + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.41

因为 $- 36$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 36 t$ 对 $t$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.42

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.43

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 + \frac{d}{d t} [36]}$

解题步骤 1.3.44

因为 $36$ 对于 $t$ 是常数，所以 $36$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36 + 0}$

解题步骤 1.3.45

将 $18 t - 36$ 和 $0$ 相加。

$lim_{t \to 2} \frac{\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{18 t - 36}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{18 t - 36}$

解题步骤 1.5

将 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{t + 4}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4}} \cdot \frac{1}{18 t - 36}$

解题步骤 1.6

将 $\frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4}}$ 乘以 $\frac{1}{18 t - 36}$ 。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{2 \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{\sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 2} (t - 2) (5 t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{t \to 2} t - 2 \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.2

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 2) \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.3

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot lim_{t \to 2} 5 t + 14}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.4

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{t \to 2} 5 t + lim_{t \to 2} 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.5

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.6

计算 $14$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.7

将 $2$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.7.1

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (5 lim_{t \to 2} t + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.7.2

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.8

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 - 2) \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.8.2

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot (5 \cdot 2 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.8.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot (10 + 14)}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.8.4

将 $10$ 和 $14$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 24}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.2.8.5

将 $0$ 乘以 $24$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} (18 t - 36)}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

解题步骤 3.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

解题步骤 3.1.3.3

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $4$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot lim_{t \to 2} 18 t - 36}$

解题步骤 3.1.3.5

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (lim_{t \to 2} 18 t - lim_{t \to 2} 36)}$

解题步骤 3.1.3.6

因为项 $18$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - lim_{t \to 2} 36)}$

解题步骤 3.1.3.7

计算 $36$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{lim_{t \to 2} t + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 36)}$

解题步骤 3.1.3.8

将 $2$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.8.1

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2 + 4} \cdot (18 lim_{t \to 2} t - 1 \cdot 36)}$

解题步骤 3.1.3.8.2

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{2 + 4} \cdot (18 \cdot 2 - 1 \cdot 36)}$

解题步骤 3.1.3.9

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.9.1

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (18 \cdot 2 - 1 \cdot 36)}$

解题步骤 3.1.3.9.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.9.2.1

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (36 - 1 \cdot 36)}$

解题步骤 3.1.3.9.2.2

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot (36 - 36)}$

解题步骤 3.1.3.9.3

从 $36$ 中减去 $36$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sqrt{6} \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.9.4

将 $\sqrt{6}$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.9.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.10

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 t + 14)}{\sqrt{t + 4} (18 t - 36)} = lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [(t - 2) (5 t + 14)]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{\frac{d}{d t} [(t - 2) (5 t + 14)]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t - 2$ 且 $g (t) = 5 t + 14$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) \frac{d}{d t} [5 t + 14] + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $5 t + 14$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [14]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.4

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5 t$ 对 $t$ 的导数是 $5 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.6

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 + \frac{d}{d t} [14]) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.7

因为 $14$ 对于 $t$ 是常数，所以 $14$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) (5 + 0) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.8

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(t - 2) \cdot 5 + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.9

将 $5$ 移到 $t - 2$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 \cdot (t - 2) + (5 t + 14) \frac{d}{d t} [t - 2]}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.10

根据加法法则， $t - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.12

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) (1 + 0)}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.13

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + (5 t + 14) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.14

将 $5 t + 14$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 (t - 2) + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.15

化简。

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解题步骤 3.3.15.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 t + 5 \cdot - 2 + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.15.2

合并项。

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解题步骤 3.3.15.2.1

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{5 t - 10 + 5 t + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.15.2.2

将 $5 t$ 和 $5 t$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t - 10 + 14}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.15.2.3

将 $- 10$ 和 $14$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{d}{d t} [\sqrt{t + 4} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.16

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t + 4}$ 重写成 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 t - 36)]}$

解题步骤 3.3.17

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 18 t - 36$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [18 t - 36] + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.18

根据加法法则， $18 t - 36$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [18 t] + \frac{d}{d t} [- 36]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [18 t] + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.19

因为 $18$ 对于 $t$ 是常数，所以 $18 t$ 对 $t$ 的导数是 $18 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.21

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 + \frac{d}{d t} [- 36]) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.22

因为 $- 36$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} (18 + 0) + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.23

将 $18$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}} \cdot 18 + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.24

将 $18$ 移到 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 \cdot {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{d}{d t} [{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 3.3.25

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = t + 4$ 。

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解题步骤 3.3.25.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t + 4$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.25.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.25.3

使用 $t + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.26

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.27

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.28

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.29

化简分子。

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解题步骤 3.3.29.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.29.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.30

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2} {(t + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.31

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{{(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.32

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 4]}$

解题步骤 3.3.33

根据加法法则， $t + 4$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])}$

解题步骤 3.3.34

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [4])}$

解题步骤 3.3.35

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

解题步骤 3.3.36

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

解题步骤 3.3.37

将 $18 t - 36$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} + (18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38

化简。

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解题步骤 3.3.38.1

重新排序项。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{(18 t - 36) \frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2

化简每一项。

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解题步骤 3.3.38.2.1

将 $18 t - 36$ 乘以 $\frac{1}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{18 t - 36}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.2

从 $18 t$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 \cdot 9 t - 36}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 \cdot 9 t + 2 \cdot - 18}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.4

从 $2 (9 t) + 2 (- 18)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.5

约去公因数。

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解题步骤 3.3.38.2.5.1

从 $2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 ({(t + 4)}^{\frac{1}{2}})} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.5.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{2 (9 t - 18)}{2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.5.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 t - 18}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.6

从 $9 t - 18$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 3.3.38.2.6.1

从 $9 t$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t) - 18}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.6.2

从 $- 18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 t + 9 \cdot - 2}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.2.6.3

从 $9 t + 9 \cdot - 2$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3.38.3

要将 $18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2) + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5

化简分子。

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解题步骤 3.3.38.5.1

从 $9 (t - 2) + 18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 3.3.38.5.1.1

从 $18 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2) + 9 \cdot 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.1.2

从 $9 (t - 2) + 9 (2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2}} {(t + 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.2

通过指数相加将 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.38.5.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.2.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{\frac{2}{2}})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.2.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 {(t + 4)}^{1})}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.3

化简 $2 {(t + 4)}^{1}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 (t + 4))}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.4

运用分配律。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 t + 2 \cdot 4)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (t - 2 + 2 t + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.6

将 $t$ 和 $2 t$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t - 2 + 8)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.7

将 $- 2$ 和 $8$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t + 6)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.8

从 $3 t + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.3.38.5.8.1

从 $3 t$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 (t) + 6)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.8.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 (3 t + 3 \cdot 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.8.3

从 $3 t + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{9 \cdot 3 (t + 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.3.38.5.9

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{10 t + 4}{\frac{27 (t + 2)}{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} (10 t + 4) \frac{{(t + 4)}^{\frac{1}{2}}}{27 (t + 2)}$

解题步骤 3.5

将 ${(t + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{t + 4}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} (10 t + 4) \frac{\sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$

解题步骤 3.6

将 $10 t + 4$ 乘以 $\frac{\sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$ 。

$\frac{1}{2} lim_{t \to 2} \frac{(10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{27 (t + 2)}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $\frac{1}{27}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} lim_{t \to 2} \frac{(10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{t + 2}$

解题步骤 4.2

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{lim_{t \to 2} (10 t + 4) \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.3

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{lim_{t \to 2} 10 t + 4 \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.4

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(lim_{t \to 2} 10 t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.5

因为项 $10$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.6

计算 $4$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot lim_{t \to 2} \sqrt{t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.7

将极限移入根号内。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.8

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.9

计算 $4$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 4.10

当 $t$ 趋于 $2$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + lim_{t \to 2} 2}$

解题步骤 4.11

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $2$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 lim_{t \to 2} t + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 5

将 $2$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{lim_{t \to 2} t + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{lim_{t \to 2} t + 2}$

解题步骤 5.3

将 $2$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27} \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{27}$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{27}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 27} \cdot \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

解题步骤 6.1.2

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}}{2 + 2}$

解题步骤 6.2

约去 $10 \cdot 2 + 4$ 和 $2 + 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $(10 \cdot 2 + 4) \cdot \sqrt{2 + 4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 + 2}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot 1 + 2}$

解题步骤 6.2.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot 1 + 2 (1)}$

解题步骤 6.2.2.3

从 $2 \cdot 1 + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot (1 + 1)}$

解题步骤 6.2.2.4

约去公因数。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{2 ((5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4})}{2 \cdot (1 + 1)}$

解题步骤 6.2.2.5

重写表达式。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(5 \cdot 2 + 2) \cdot \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{(10 + 2) \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

解题步骤 6.3.2

将 $10$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{2 + 4}}{1 + 1}$

解题步骤 6.3.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{1 + 1}$

解题步骤 6.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{54} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 6.5

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $54$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{6 (9)} \cdot \frac{12 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 6.5.2

从 $12 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{1}{6 (9)} \cdot \frac{6 (2 \sqrt{6})}{2}$

解题步骤 6.5.3

约去公因数。

$\frac{1}{6 \cdot 9} \cdot \frac{6 (2 \sqrt{6})}{2}$

解题步骤 6.5.4

重写表达式。

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 6.6

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{2 \sqrt{6}}{2}$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{9 \cdot 2}$

解题步骤 6.7

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{18}$

解题步骤 6.8

约去 $2$ 和 $18$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.1

从 $2 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (\sqrt{6})}{18}$

解题步骤 6.8.2

约去公因数。

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解题步骤 6.8.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.8.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 6.8.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{6}}{9}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\sqrt{6}}{9}$

小数形式：

$0.27216552 \dots$

微积分学 示例

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