微积分学示例

$\int_{1}^{4} (4 x + \sqrt{x}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{1}^{4} 4 x + \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{4} 4 x d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 5

合并分数。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 7.2

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.2

约去 $16$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.2.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.2.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.2.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$4 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.3

一的任意次幂都为一。

$4 (8 - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.4

要将 $8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.5

组合 $8$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7

化简分子。

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解题步骤 7.3.7.1

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{16 - 1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.7.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{15}{2}) + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.8

组合 $4$ 和 $\frac{15}{2}$ 。

$\frac{4 \cdot 15}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.9

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{60}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.10

约去 $60$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.10.1

从 $60$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 30}{2} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 7.3.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{30}{1} + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.10.2.4

用 $30$ 除以 $1$ 。

$30 + \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.11

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$30 + \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.12

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$30 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.13

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.13.1

约去公因数。

$30 + \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.13.2

重写表达式。

$30 + \frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.14

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$30 + \frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.15

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$30 + \frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.16

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$30 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.3.17

一的任意次幂都为一。

$30 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 7.3.18

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$30 + \frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 7.3.19

在公分母上合并分子。

$30 + \frac{16 - 2}{3}$

解题步骤 7.3.20

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$30 + \frac{14}{3}$

解题步骤 7.3.21

要将 $30$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$30 \cdot \frac{3}{3} + \frac{14}{3}$

解题步骤 7.3.22

组合 $30$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{30 \cdot 3}{3} + \frac{14}{3}$

解题步骤 7.3.23

在公分母上合并分子。

$\frac{30 \cdot 3 + 14}{3}$

解题步骤 7.3.24

化简分子。

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解题步骤 7.3.24.1

将 $30$ 乘以 $3$ 。

$\frac{90 + 14}{3}$

解题步骤 7.3.24.2

将 $90$ 和 $14$ 相加。

$\frac{104}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{104}{3}$

小数形式：

$34.\overline{6}$

带分数形式：

$34 \frac{2}{3}$

解题步骤 9

微积分学 示例

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