代数示例

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将方程重写为 $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ 。

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

解题步骤 2.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

解题步骤 2.3

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1.1

约去公因数。

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

解题步骤 2.3.1.2

重写表达式。

$e^{y^{8}} = 2 x$

解题步骤 2.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

解题步骤 2.5

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

通过将 $y^{8}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y^{8}})$ 。

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

解题步骤 2.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

解题步骤 2.5.3

将 $y^{8}$ 乘以 $1$ 。

$y^{8} = \ln (2 x)$

解题步骤 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

解题步骤 2.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

解题步骤 2.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

解题步骤 2.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

解题步骤 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 是否为 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 的值域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[\frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $\ln (2 x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 x > 0$

解题步骤 4.3.2

将 $2 x > 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.1

将 $2 x > 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x > 0$

解题步骤 4.3.3

将 $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\ln (2 x) \geq 0$

解题步骤 4.3.4

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.1

将不等式转换为等式。

$\ln (2 x) = 0$

解题步骤 4.3.4.2

求解方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

解题步骤 4.3.4.2.2

使用对数的定义将 $\ln (2 x) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = 2 x$

解题步骤 4.3.4.2.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.3.1

将方程重写为 $2 x = e^{0}$ 。

$2 x = e^{0}$

解题步骤 4.3.4.2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 4.3.4.2.3.3

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.3.3.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.4.2.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.4.2.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.4.3

求 $\ln (2 x)$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.3.1

将 $\ln (2 x)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$2 x > 0$

解题步骤 4.3.4.3.2

将 $2 x > 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.3.2.1

将 $2 x > 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x > \frac{0}{2}$

解题步骤 4.3.4.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.4.3.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x > 0$

解题步骤 4.3.4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(0, \infty)$

解题步骤 4.3.4.4

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \geq \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[\frac{1}{2}, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 的定义域为 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 的值域又为 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ 为 $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

解题步骤 5

代数 示例

代数示例