代数示例

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $0.5$ 。

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [23 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $23$ 对于 $x$ 是常数，所以 $23 x$ 对 $x$ 的导数是 $23 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.3.3

将 $23$ 乘以 $1$ 。

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.4

因为 $- 216$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 216$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

解题步骤 1.5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 。

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解题步骤 1.5.1

因为 $2600$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2600}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $2600$ 。

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.6.2

合并项。

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解题步骤 1.6.2.1

将 $x + 23$ 和 $0$ 相加。

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.6.2.2

组合 $- 2600$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

解题步骤 1.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

解题步骤 1.6.3

重新排序项。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 2600$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2600}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.2.10

将 $- 2$ 乘以 $- 2600$ 。

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

解题步骤 2.3

因为 $23$ 对于 $x$ 是常数，所以 $23$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

组合 $5200$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

解题步骤 2.4.2.2

将 $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $0.5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0.5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $0.5$ 。

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.2.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [23 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $23$ 对于 $x$ 是常数，所以 $23 x$ 对 $x$ 的导数是 $23 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.3.3

将 $23$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 216$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 216$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

解题步骤 4.1.5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $2600$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2600}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

解题步骤 4.1.5.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

解题步骤 4.1.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

解题步骤 4.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $2600$ 。

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2

合并项。

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解题步骤 4.1.6.2.1

将 $x + 23$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.2

组合 $- 2600$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3

重新排序项。

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ 。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 9.01216529$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{2600}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 9.01216529$

解题步骤 8

计算在 $x = 9.01216529$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $9.01216529$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

解题步骤 9.1.2

用 $5200$ 除以 $731.96016423$ 。

$7.10421175 + 1$

解题步骤 9.2

将 $7.10421175$ 和 $1$ 相加。

$8.10421175$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 9.01216529$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 9.01216529$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 9.01216529$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $9.01216529$ 替换变量 $x$ 。

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $9.01216529$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $0.5$ 乘以 $81.21912329$ 。

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $23$ 乘以 $9.01216529$ 。

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

解题步骤 11.2.1.4

用 $2600$ 除以 $9.01216529$ 。

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $40.60956164$ 和 $207.27980177$ 相加。

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

解题步骤 11.2.2.2

从 $247.88936342$ 中减去 $216$ 。

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

解题步骤 11.2.2.3

将 $31.88936342$ 和 $288.49892506$ 相加。

$f (9.01216529) = 320.38828848$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $320.38828848$ 。

$y = 320.38828848$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ 的局部极值。

$(9.01216529, 320.38828848)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

代数 示例

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