代数示例

$x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} + 8 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x + 8 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $6 x + 8$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x + 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + 8 x - 2$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 8 x - 2$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 8 x - 2 = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = 3$ 、 $b = 8$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 2)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $64$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $88$ 重写为 $2^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

从 $88$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.3

将 $64$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $88$ 重写为 $2^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

从 $88$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 4 + \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.5.5

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 + \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.5.6

从 $\sqrt{22}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - 1 (- \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 5.5.7

从 $- 1 (4) - 1 (- \sqrt{22})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (4 - \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 5.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot - 2}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.3

将 $64$ 和 $24$ 相加。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{88}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $88$ 重写为 $2^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 5.6.1.4.1

从 $88$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (22)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 22}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{22}}{6}$ 。

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 4 - \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.6.5

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.6.6

从 $- \sqrt{22}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 4 - (\sqrt{22})}{3}$

解题步骤 5.6.7

从 $- 1 (4) - (\sqrt{22})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (4 + \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 5.6.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) + 8$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$6 \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

解题步骤 9.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

解题步骤 9.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{- (4 - \sqrt{22})}{3} + 8$

解题步骤 9.1.1.4

重写表达式。

$2 (- (4 - \sqrt{22})) + 8$

解题步骤 9.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (4 - \sqrt{22}) + 8$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$- 2 \cdot 4 - 2 (- \sqrt{22}) + 8$

解题步骤 9.1.4

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8 - 2 (- \sqrt{22}) + 8$

解题步骤 9.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 + 2 \sqrt{22} + 8$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$0 + 2 \sqrt{22}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{22}$ 相加。

$2 \sqrt{22}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = - \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.1.1

对 $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.1.2

对 $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 - \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.4

使用二项式定理。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.5.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{22})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 (- \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{22})}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {(- \sqrt{22})}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.6

对 $- \sqrt{22}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{22}}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 (1 {\sqrt{22}}^{2}) + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.8

将 ${\sqrt{22}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {\sqrt{22}}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.9

将 ${\sqrt{22}}^{2}$ 重写为 $22$ 。

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解题步骤 11.2.1.5.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{22}$ 重写成 $22^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 {(22^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.5.9.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.9.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.9.5

计算指数。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.10

将 $12$ 乘以 $22$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 + {(- \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.11

对 $- \sqrt{22}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.13

将 ${\sqrt{22}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{22^{3}}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{22^{3}}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.14

对 $22$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{10648}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.15

将 $10648$ 重写为 $22^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 11.2.1.5.15.1

从 $10648$ 中分解出因数 $484$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{484 (22)}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.15.2

将 $484$ 重写为 $22^{2}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - \sqrt{22^{2} \cdot 22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.16

从根式下提出各项。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - (22 \sqrt{22})}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.5.17

将 $22$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 - 48 \sqrt{22} + 264 - 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.6

将 $64$ 和 $264$ 相加。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 48 \sqrt{22} - 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.7

从 $- 48 \sqrt{22}$ 中减去 $22 \sqrt{22}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.1.8.1

对 $- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 - \sqrt{22}}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.8.2

对 $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (1 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.10

将 $\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 - \sqrt{22})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.12

将 ${(4 - \sqrt{22})}^{2}$ 重写为 $(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.13

使用 FOIL 方法展开 $(4 - \sqrt{22}) (4 - \sqrt{22})$ 。

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解题步骤 11.2.1.13.1

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 (4 - \sqrt{22}) - \sqrt{22} (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.13.2

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} (4 - \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.13.3

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1.14.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.14.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 (- \sqrt{22}) - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - \sqrt{22} \cdot 4 - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} - \sqrt{22} (- \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.4

乘以 $- \sqrt{22} (- \sqrt{22})$ 。

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解题步骤 11.2.1.14.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 1 \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.4.2

将 $\sqrt{22}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.4.3

对 $\sqrt{22}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.4.4

对 $\sqrt{22}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {\sqrt{22}}^{1 + 1}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {\sqrt{22}}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.5

将 ${\sqrt{22}}^{2}$ 重写为 $22$ 。

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解题步骤 11.2.1.14.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{22}$ 重写成 $22^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + {(22^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{2}{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.14.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22^{\frac{2}{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.1.5.5

计算指数。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.2

将 $16$ 和 $22$ 相加。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 - 4 \sqrt{22} - 4 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.14.3

从 $- 4 \sqrt{22}$ 中减去 $4 \sqrt{22}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 - 8 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.15

组合 $4$ 和 $\frac{38 - 8 \sqrt{22}}{9}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} - 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.16

乘以 $- 2 (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3})$ 。

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解题步骤 11.2.1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} + 2 (\frac{4 - \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 11.2.1.16.2

组合 $2$ 和 $\frac{4 - \sqrt{22}}{3}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $\frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{4 (38 - 8 \sqrt{22})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{2 (4 - \sqrt{22})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.5

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 - 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- (328 - 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 328 - (- 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $328$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - (- 70 \sqrt{22}) + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.3

将 $- 70$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 4 (38 - 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (4 \cdot 38 + 4 (- 8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.5

将 $4$ 乘以 $38$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (152 + 4 (- 8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.6

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + (152 - 32 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 152 \cdot 3 - 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.8

将 $152$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.9

将 $3$ 乘以 $- 32$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 2 (4 - \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (2 \cdot 4 + 2 (- \sqrt{22})) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.11

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (8 + 2 (- \sqrt{22})) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + (8 - 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.13

运用分配律。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 8 \cdot 9 - 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.14

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 72 - 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.15

将 $9$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 + 70 \sqrt{22} + 456 - 96 \sqrt{22} + 72 - 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 11.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $- 328$ 和 $456$ 相加。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{128 + 70 \sqrt{22} - 96 \sqrt{22} + 72 - 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $128$ 和 $72$ 相加。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 70 \sqrt{22} - 96 \sqrt{22} - 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 11.2.5.3

从 $70 \sqrt{22}$ 中减去 $96 \sqrt{22}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 26 \sqrt{22} - 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 11.2.5.4

从 $- 26 \sqrt{22}$ 中减去 $18 \sqrt{22}$ 。

$f (- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$ 。

$y = \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) + 8$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

将 $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$6 \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

解题步骤 13.1.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

解题步骤 13.1.1.3

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{- (4 + \sqrt{22})}{3} + 8$

解题步骤 13.1.1.4

重写表达式。

$2 (- (4 + \sqrt{22})) + 8$

解题步骤 13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 (4 + \sqrt{22}) + 8$

解题步骤 13.1.3

运用分配律。

$- 2 \cdot 4 - 2 \sqrt{22} + 8$

解题步骤 13.1.4

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 8 - 2 \sqrt{22} + 8$

解题步骤 13.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 8$ 和 $8$ 相加。

$0 - 2 \sqrt{22}$

解题步骤 13.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{22}$ 。

$- 2 \sqrt{22}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.1.1

对 $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{3} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.1.2

对 $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}}) + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{3^{3}} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{{(4 + \sqrt{22})}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.4

使用二项式定理。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.5.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 3 \cdot (16 \sqrt{22}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 3 \cdot (4 {\sqrt{22}}^{2}) + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 {\sqrt{22}}^{2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.5

将 ${\sqrt{22}}^{2}$ 重写为 $22$ 。

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解题步骤 15.2.1.5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{22}$ 重写成 $22^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 {(22^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.5.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.5.5

计算指数。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 12 \cdot 22 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.6

将 $12$ 乘以 $22$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + {\sqrt{22}}^{3}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.7

将 ${\sqrt{22}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{22^{3}}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{22^{3}}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.8

对 $22$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{10648}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.9

将 $10648$ 重写为 $22^{2} \cdot 22$ 。

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解题步骤 15.2.1.5.9.1

从 $10648$ 中分解出因数 $484$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{484 (22)}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.9.2

将 $484$ 重写为 $22^{2}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + \sqrt{22^{2} \cdot 22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.5.10

从根式下提出各项。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{64 + 48 \sqrt{22} + 264 + 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.6

将 $64$ 和 $264$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 48 \sqrt{22} + 22 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.7

将 $48 \sqrt{22}$ 和 $22 \sqrt{22}$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 {(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.1.8.1

对 $- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4 + \sqrt{22}}{3})}^{2}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.8.2

对 $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (1 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}})) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.10

将 $\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{3^{2}}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{{(4 + \sqrt{22})}^{2}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.12

将 ${(4 + \sqrt{22})}^{2}$ 重写为 $(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.13

使用 FOIL 方法展开 $(4 + \sqrt{22}) (4 + \sqrt{22})$ 。

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解题步骤 15.2.1.13.1

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 (4 + \sqrt{22}) + \sqrt{22} (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.13.2

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} (4 + \sqrt{22})}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.13.3

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.14.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.14.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22} \cdot 4 + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.1.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{22}$ 的左侧。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \cdot \sqrt{22} + \sqrt{22} \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22 \cdot 22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.1.4

将 $22$ 乘以 $22$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{484}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.1.5

将 $484$ 重写为 $22^{2}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + \sqrt{22^{2}}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{16 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22} + 22}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.2

将 $16$ 和 $22$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 + 4 \sqrt{22} + 4 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.14.3

将 $4 \sqrt{22}$ 和 $4 \sqrt{22}$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + 4 (\frac{38 + 8 \sqrt{22}}{9}) - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.15

组合 $4$ 和 $\frac{38 + 8 \sqrt{22}}{9}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} - 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.16

乘以 $- 2 (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3})$ 。

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解题步骤 15.2.1.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} + 2 (\frac{4 + \sqrt{22}}{3})$

解题步骤 15.2.1.16.2

组合 $2$ 和 $\frac{4 + \sqrt{22}}{3}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 15.2.2

求公分母。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $\frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $\frac{4 (38 + 8 \sqrt{22})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $\frac{2 (4 + \sqrt{22})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 15.2.2.5

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 15.2.2.6

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = - \frac{328 + 70 \sqrt{22}}{27} + \frac{4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3}{27} + \frac{2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.3

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- (328 + 70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 328 - (70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $328$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - (70 \sqrt{22}) + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.3

将 $70$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 4 (38 + 8 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.4

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (4 \cdot 38 + 4 (8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.5

将 $4$ 乘以 $38$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (152 + 4 (8 \sqrt{22})) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.6

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + (152 + 32 \sqrt{22}) \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.7

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 152 \cdot 3 + 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.8

将 $152$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 32 \sqrt{22} \cdot 3 + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.9

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 2 (4 + \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.10

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + (2 \cdot 4 + 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.11

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + (8 + 2 \sqrt{22}) \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.12

运用分配律。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 8 \cdot 9 + 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.13

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 72 + 2 \sqrt{22} \cdot 9}{27}$

解题步骤 15.2.4.14

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{- 328 - 70 \sqrt{22} + 456 + 96 \sqrt{22} + 72 + 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 15.2.5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 328$ 和 $456$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{128 - 70 \sqrt{22} + 96 \sqrt{22} + 72 + 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $128$ 和 $72$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 - 70 \sqrt{22} + 96 \sqrt{22} + 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 70 \sqrt{22}$ 和 $96 \sqrt{22}$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 26 \sqrt{22} + 18 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 15.2.5.4

将 $26 \sqrt{22}$ 和 $18 \sqrt{22}$ 相加。

$f (- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}) = \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 15.2.6

最终答案为 $\frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$ 。

$y = \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} + 4 x^{2} - 2 x$ 的局部极值。

$(- \frac{4 - \sqrt{22}}{3}, \frac{200 - 44 \sqrt{22}}{27})$ 是一个局部最小值

$(- \frac{4 + \sqrt{22}}{3}, \frac{200 + 44 \sqrt{22}}{27})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

代数 示例

代数示例