代数示例

$\frac{x^{5} - 4}{x^{2} - 1}$

解题步骤 1

使用多项式长除法进行相除。

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解题步骤 1.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 1.2

将被除数中的最高阶项 $x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

解题步骤 1.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

解题步骤 1.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{5} + 0 - x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

解题步骤 1.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

解题步骤 1.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 1.7

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

解题步骤 1.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 1.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 0 - x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 1.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

解题步骤 1.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

$4$

解题步骤 1.12

最终答案为商加上余数除以除数。

$x^{3} + x + \frac{x - 4}{x^{2} - 1}$

解题步骤 2

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x - 4}{x^{2} - 1^{2}}$

解题步骤 2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x - 4}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 2.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1}$

解题步骤 2.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 2.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{(x - 4) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.5

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.1

约去公因数。

$\frac{(x - 4) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.5.2

重写表达式。

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.6

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

约去公因数。

$\frac{(x - 4) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.6.2

用 $x - 4$ 除以 $1$ 。

$x - 4 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7

化简每一项。

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解题步骤 2.7.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1

约去公因数。

$x - 4 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7.1.2

用 $(A) (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$x - 4 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$x - 4 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$x - 4 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$x - 4 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.5.1

约去公因数。

$x - 4 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

解题步骤 2.7.5.2

用 $(B) (x + 1)$ 除以 $1$ 。

$x - 4 = A x - A + (B) (x + 1)$

解题步骤 2.7.6

运用分配律。

$x - 4 = A x - A + B x + B \cdot 1$

解题步骤 2.7.7

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$x - 4 = A x - A + B x + B$

解题步骤 2.8

移动 $- A$ 。

$x - 4 = A x + B x - A + B$

解题步骤 3

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 3.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = A + B$

解题步骤 3.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 4 = - 1 A + B$

解题步骤 3.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = A + B$

$- 4 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$- 4 = - 1 A + B$

解题步骤 4

求解方程组。

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解题步骤 4.1

在 $1 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.1.1

将方程重写为 $A + B = 1$ 。

$A + B = 1$

$- 4 = - 1 A + B$

解题步骤 4.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 A + B$

解题步骤 4.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $1 - B$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用 $1 - B$ 替换 $- 4 = - 1 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$- 4 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $- 1 (1 - B) + B$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用分配律。

$- 4 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 4 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

乘以 $- 1 (- B)$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.1.3.2

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$- 4 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $B$ 和 $B$ 相加。

$- 4 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3

在 $- 4 = - 1 + 2 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.1

将方程重写为 $- 1 + 2 B = - 4$ 。

$- 1 + 2 B = - 4$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 B = - 4 + 1$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$2 B = - 3$

$A = 1 - B$

$2 B = - 3$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3

将 $2 B = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $2 B = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 B}{2} = \frac{- 3}{2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 B}{2} = \frac{- 3}{2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{- 3}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$B = - \frac{3}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = 1 - B$

解题步骤 4.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $- \frac{3}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用 $- \frac{3}{2}$ 替换 $A = 1 - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = 1 - (- \frac{3}{2})$

$B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 $1 - (- \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

乘以 $- (- \frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A = 1 + 1 (\frac{3}{2})$

$B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$A = 1 + \frac{3}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = 1 + \frac{3}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$A = \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$A = \frac{2 + 3}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.4.2.1.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

$A = \frac{5}{2}$

$B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4.5

列出所有解。

$A = \frac{5}{2}, B = - \frac{3}{2}$

解题步骤 5

将 $x^{3} + x + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$x^{3} + x + \frac{\frac{5}{2}}{x + 1} + \frac{- \frac{3}{2}}{x - 1}$

代数 示例

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