代数示例

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{a^{2} - 5}{a^{3} - 1^{3}} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1^{2})} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

解题步骤 1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{a - 1}{a - 1}$ 。

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{a + 1}{a^{2} + a + 1} \cdot \frac{a - 1}{a - 1}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(a - 1) (a^{2} + a + 1)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{a + 1}{a^{2} + a + 1}$ 乘以 $\frac{a - 1}{a - 1}$ 。

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a^{2} + a + 1) (a - 1)}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(a^{2} + a + 1) (a - 1)$ 的因式。

$\frac{a^{2} - 5}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)} - \frac{(a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{a^{2} - 5 - (a + 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1 \cdot 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a^{2} - 5 + (- a - 1) (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.3

使用 FOIL 方法展开 $(- a - 1) (a - 1)$ 。

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解题步骤 5.3.1

运用分配律。

$\frac{a^{2} - 5 - a (a - 1) - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.3.2

运用分配律。

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 (a - 1)}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.3.3

运用分配律。

$\frac{a^{2} - 5 - a \cdot a - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 5.4.1.1.1

移动 $a$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - (a \cdot a) - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.1.1.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} - a \cdot - 1 - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- a \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1 a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - 1 a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $- 1 a$ 重写为 $- a$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a - 1 \cdot - 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + a - a + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.2

从 $a$ 中减去 $a$ 。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 0 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.4.3

将 $- a^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{a^{2} - 5 - a^{2} + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.5

从 $a^{2}$ 中减去 $a^{2}$ 。

$\frac{0 - 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.6

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$\frac{- 5 + 1}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 5.7

将 $- 5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

解题步骤 6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{(a - 1) (a^{2} + a + 1)}$

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