代数示例

${(\sqrt{x - 5})}^{7}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(\sqrt{x - 5})}^{7}$ 重写为 $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 5)}^{7}}]$

解题步骤 1.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ 重写成 ${(x - 5)}^{\frac{7}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{7}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.3.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.7.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.8

组合 $\frac{7}{2}$ 和 ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.11

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + 0)$

解题步骤 1.12

化简表达式。

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解题步骤 1.12.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.12.2

将 $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{7}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$ 。

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.7

合并分数。

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解题步骤 2.7.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{7}{2} (\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 2.7.2

将 $\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{7}{2}$ 。

$\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 2.7.3

乘。

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解题步骤 2.7.3.1

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 2.7.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 2.8

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 2.10

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + 0)$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \cdot 1$

解题步骤 2.11.2

将 $\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$

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