代数示例

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

解题步骤 1

从右边开始。

$\csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$

解题步骤 2

将勾股恒等式反过来使用。

$1 + \cot^{2} (x) + 2 \cot (x)$

解题步骤 3

转换成正弦和余弦。

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解题步骤 3.1

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \cot (x)$

解题步骤 3.2

使用商数恒等式以正弦和余弦书写 $\cot (x)$ 。

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 3.3

对 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $2$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2

要将 $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 ${\sin (x)}^{2}$ 的形式。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ 乘以 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ 。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

解题步骤 4.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

解题步骤 4.3.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$1 + \frac{{\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.5

从 ${\cos (x)}^{2} + 2 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

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解题步骤 4.5.1

从 ${\cos (x)}^{2}$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.5.2

从 $2 \cos (x) \sin (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.5.3

从 $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (2 \sin (x))$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$1 + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.6

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$\frac{{\sin (x)}^{2} + \cos (x) (\cos (x) + 2 \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

解题步骤 4.8

化简分子。

$\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 重写为 ${(1 + \cot (x))}^{2}$ 。

${(1 + \cot (x))}^{2}$

解题步骤 6

因为两边已证明为相等，所以方程为恒等式。

${(1 + \cot (x))}^{2} = \csc^{2} (x) + 2 \cot (x)$ 是一个恒等式

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