代数示例

$\frac{4}{5}$ , $\frac{8}{15}$ , $\frac{16}{45}$ , $\frac{32}{135}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{2}{3}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{2}{3}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = \frac{4}{5}$ 和 $r = \frac{2}{3}$ 的值。

$a_{n} = \frac{4}{5} {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

解题步骤 4

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{4}{5} \cdot \frac{2^{n - 1}}{3^{n - 1}}$

解题步骤 5

合并。

$a_{n} = \frac{4 \cdot 2^{n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$a_{n} = \frac{2^{2} \cdot 2^{n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

解题步骤 6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{n} = \frac{2^{2 + n - 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

解题步骤 6.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$a_{n} = \frac{2^{n + 1}}{5 \cdot 3^{n - 1}}$

解题步骤 7

代入 $n$ 的值以求出第 $n$ 项。

$a_{5} = \frac{2^{(5) + 1}}{5 \cdot 3^{(5) - 1}}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$a_{5} = \frac{2^{6}}{5 \cdot 3^{5 - 1}}$

解题步骤 8.2

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 3^{5 - 1}}$

解题步骤 9

化简分母。

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解题步骤 9.1

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 3^{4}}$

解题步骤 9.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$a_{5} = \frac{64}{5 \cdot 81}$

解题步骤 10

将 $5$ 乘以 $81$ 。

$a_{5} = \frac{64}{405}$

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