代数示例

$\log (b x) - \log (b \cdot 5) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

解题步骤 1.2

约去 $b$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1

约去公因数。

$\log (\frac{b x}{b \cdot 5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

解题步骤 1.2.2

重写表达式。

$\log (\frac{x}{5}) = \log (b \cdot 2) - \log (b) (x - 3)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $2$ 移到 $b$ 的左侧。

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 \cdot b) - \log (b) (x - 3)$

解题步骤 2.1.2

运用分配律。

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x - \log (b) \cdot - 3$

解题步骤 2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$

解题步骤 2.2

化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

将 $\log (2 b) - \log (b) x + 3 \log (b)$ 中的因式重新排序。

$\log (\frac{x}{5}) = \log (2 b) - x \log (b) + 3 \log (b)$

解题步骤 2.2.2

将 $\log (2 b)$ 和 $- x \log (b)$ 重新排序。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$

解题步骤 3

化简右边。

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解题步骤 3.1

化简 $- x \log (b) + \log (2 b) + 3 \log (b)$ 。

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解题步骤 3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \log (b)$ 。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b) + \log (b^{3})$

解题步骤 3.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b \cdot b^{3})$

解题步骤 3.1.3

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b^{3}$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

移动 $b^{3}$ 。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b))$

解题步骤 3.1.3.2

将 $b^{3}$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 3.1.3.2.1

对 $b$ 进行 $1$ 次方运算。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 (b^{3} b^{1}))$

解题步骤 3.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{3 + 1})$

解题步骤 3.1.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\log (\frac{x}{5}) = - x \log (b) + \log (2 b^{4})$

解题步骤 4

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log (\frac{x}{5}) + x \log (b) - \log (2 b^{4}) = 0$

解题步骤 5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \log (b) + \log (\frac{\frac{x}{5}}{2 b^{4}}) = 0$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

将分子乘以分母的倒数。

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5} \cdot \frac{1}{2 b^{4}}) = 0$

解题步骤 6.2

合并。

$x \log (b) + \log (\frac{x \cdot 1}{5 (2 b^{4})}) = 0$

解题步骤 6.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x \log (b) + \log (\frac{x}{5 \cdot (2 b^{4})}) = 0$

解题步骤 6.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$x \log (b) + \log (\frac{x}{10 b^{4}}) = 0$

解题步骤 7

使用对数的定义将 $\log (\frac{x}{10 b^{4}}) = - x \log (b)$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{- x \log (b)} = \frac{x}{10 b^{4}}$

解题步骤 8

求解 $b$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (10^{- x \log (b)}) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

解题步骤 8.2

通过将 $- x \log (b)$ 移到对数外来展开 $\ln (10^{- x \log (b)})$ 。

$- x \log (b) \ln (10) = \ln (\frac{x}{10 b^{4}})$

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