代数示例

$f (x) = x \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

判断函数是否为奇、偶或两者皆非，从而找出其对称性。

1. 如果为奇函数，则关于原点对称。

2. 如果为偶函数，则关于 y 轴对称。

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (x) = x \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f (x) = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

解题步骤 3

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 3.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = - x \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

解题步骤 3.2

去掉圆括号。

$f (- x) = - x \sqrt{(1 - x) (1 - (- x))}$

解题步骤 3.3

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- x) = - x \sqrt{(1 - x) (1 + 1 x)}$

解题步骤 3.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - x \sqrt{(1 - x) (1 + x)}$

解题步骤 4

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 4.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 4.2

因为 $- x \sqrt{(1 - x) (1 + x)} = x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ ，所以该函数是偶函数。

该函数为偶函数

解题步骤 5

因为函数不是奇函数，所以没有关于原点对称。

不存在原点对称

解题步骤 6

因为函数不是偶函数，所以关于 y 轴对称。

Y 轴对称

解题步骤 7

代数 示例

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