代数示例

$\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x + \frac{1}{2})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}, x + \frac{1}{2})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\tan (\arcsin (x + \frac{1}{2}))$ 为 $\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$ 。

$\frac{x + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{x \cdot 2 + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1 - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{1^{2} - {(x + \frac{1}{2})}^{2}}}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x + \frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(1 + x + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2}{2} + \frac{1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{2 + 1}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.4

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.5

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{(\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}) (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{x \cdot 2 + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.7

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.8

要将 $x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (x \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.9

组合 $x$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - (\frac{x \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}))}}$

解题步骤 3.3.10

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{x \cdot 2 + 1}{2})}}$

解题步骤 3.3.11

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (1 - \frac{2 x + 1}{2})}}$

解题步骤 3.3.12

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} (\frac{2}{2} - \frac{2 x + 1}{2})}}$

解题步骤 3.3.13

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x + 1)}{2}}}$

解题步骤 3.3.14

以因式分解的形式重写 $\frac{2 - (2 x + 1)}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.14.1

运用分配律。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{2}}}$

解题步骤 3.3.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1 \cdot 1}{2}}}$

解题步骤 3.3.14.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{2 - 2 x - 1}{2}}}$

解题步骤 3.3.14.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{2 x + 3}{2} \cdot \frac{- 2 x + 1}{2}}}$

解题步骤 3.4

将 $\frac{2 x + 3}{2}$ 乘以 $\frac{- 2 x + 1}{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{2 \cdot 2}}}$

解题步骤 3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}}}$

解题步骤 3.6

将 $\frac{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}{4}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))$ 。

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解题步骤 3.6.1

从 $(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{4}}}$

解题步骤 3.6.2

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}}}$

解题步骤 3.6.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 x + 3) (- 2 x + 1))}}$

解题步骤 3.7

从根式下提出各项。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{1}{2} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

解题步骤 3.8

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 。

$\frac{\frac{2 x + 1}{2}}{\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{2}}$

解题步骤 4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

解题步骤 5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{2 x + 1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$(2 x + 1) \frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

解题步骤 6

将 $\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 。

$(2 x + 1) (\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}})$

解题步骤 7

合并和化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$ 。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

解题步骤 7.2

对 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}$

解题步骤 7.3

对 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1} {\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1}}$

解题步骤 7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}}$

解题步骤 7.6

将 ${\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}^{2}$ 重写为 $(2 x + 3) (- 2 x + 1)$ 。

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解题步骤 7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 重写成 ${((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{({((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.6.4.1

约去公因数。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.6.4.2

重写表达式。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{{((2 x + 3) (- 2 x + 1))}^{1}}$

解题步骤 7.6.5

化简。

$(2 x + 1) \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

解题步骤 8

将 $2 x + 1$ 乘以 $\frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$ 。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}$

解题步骤 9

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) + 1)}$

解题步骤 10

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x) - 1 (- 1))}$

解题步骤 11

从 $- (2 x) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- (2 x - 1))}$

解题步骤 12

重写负数。

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解题步骤 12.1

将 $- (2 x - 1)$ 重写为 $- 1 (2 x - 1)$ 。

$\frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (- 1 (2 x - 1))}$

解题步骤 12.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$

解题步骤 12.3

将 $- \frac{(2 x + 1) \sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)}}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{\sqrt{(2 x + 3) (- 2 x + 1)} (2 x + 1)}{(2 x + 3) (2 x - 1)}$

代数 示例

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