代数示例

$\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{8}$ , $\frac{9}{32}$ , $\frac{27}{128}$

解题步骤 1

由于各项间的比值相同，因此这是一个等比数列。在本例中，数列的前一项乘以 $\frac{3}{4}$ 即得到数列的下一项。亦即 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 。

等比数列： $r = \frac{3}{4}$

解题步骤 2

这是等比数列的形式。

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

解题步骤 3

代入 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 和 $r = \frac{3}{4}$ 的值。

$a_{n} = \frac{1}{2} {(\frac{3}{4})}^{n - 1}$

解题步骤 4

对 $\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

$a_{n} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{n - 1}}{4^{n - 1}}$

解题步骤 5

合并。

$a_{n} = \frac{1 \cdot 3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

解题步骤 6

将 $3^{n - 1}$ 乘以 $1$ 。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 4^{n - 1}}$

解题步骤 7

化简分母。

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解题步骤 7.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot {(2^{2})}^{n - 1}}$

解题步骤 7.2

将 ${(2^{2})}^{n - 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 (n - 1)}}$

解题步骤 7.2.2

运用分配律。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n + 2 \cdot - 1}}$

解题步骤 7.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2 \cdot 2^{2 n - 2}}$

解题步骤 7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{1 + 2 n - 2}}$

解题步骤 7.4

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$a_{n} = \frac{3^{n - 1}}{2^{2 n - 1}}$

解题步骤 8

代入 $n$ 的值以求出第 $n$ 项。

$a_{5} = \frac{3^{(5) - 1}}{2^{2 (5) - 1}}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

从 $5$ 中减去 $1$ 。

$a_{5} = \frac{3^{4}}{2^{2 (5) - 1}}$

解题步骤 9.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$a_{5} = \frac{81}{2^{2 (5) - 1}}$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$a_{5} = \frac{81}{2^{10 - 1}}$

解题步骤 10.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$a_{5} = \frac{81}{2^{9}}$

解题步骤 10.3

对 $2$ 进行 $9$ 次方运算。

$a_{5} = \frac{81}{512}$

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